Факториальное простое число

В теории чисел факториальным простым числом называется простое число, на единицу ме́ньшее или на единицу бо́льшее факториала.

Несколько первых факториальных простых[1]:

2 = 0! + 1 = 1! + 1,

3 = 2! + 1,

5 = 3! − 1,

7 = 3! + 1,

23 = 4! − 1,

719 = 6! − 1,

5039 = 7! − 1,

39 916 801 = 11! + 1,

479 001 599 = 12! − 1,

87 178 291 199 = 14! − 1, …

n! + 1 является простым числом при[2]

n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26 951, 110 059[3], 150 209[4], 288 465 (известно 23 числа)

n! − 1 является простым числом при[5]

n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21 480, 34 790, 94 550[6], 103 040[7], 147 855[8], 208 003 (известно 27 чисел)

Нерешённые проблемы математики: Бесконечно ли количество факториальных простых чисел?

По состоянию на март 2021 года никаких других факториальных простых не известно.

Если ни предыдущее, ни последующее число для факториала n! не является простым, возникает относительно большой промежуток между двумя последовательными простыми, поскольку n! ± k делится на k для 2 ≤ k ≤ n. Например, простое, следующее за 6 227 020 777 = 13! − 23, равно 6 227 020 867 = 13! + 67 (то есть следуют 89 составных чисел). Заметим, что это не самый эффективный способ поиска больших интервалов между простыми числами. Так, например, между простыми 360 653 и 360 749 находятся 95 составных.