Интервалы между простыми числами

Постулат Бертрана утверждает, что для любого k всегда существует хотя бы одно простое число между k и 2k, поэтому, в частности, ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}$, откуда ${\displaystyle g_{n}<p_{n}}$.

Теорема о распределении простых чисел говорит, что «средняя длина» интервалов между простым p и следующим простым числом имеет порядок ${\displaystyle \ln p}$. Фактическая длина интервалов может быть больше или меньше этого значения. Однако, из теоремы о распределении простых чисел можно вывести, верхнюю оценку для длины интервалов простых чисел: для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое N, что для всех ${\displaystyle n>N}$ будет ${\displaystyle g_{n}<\varepsilon p_{n}}$.

Хохайзель первым показал[5] что существует такое постоянное ${\displaystyle \theta <1}$

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$

отсюда следует, что

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },}$

для достаточно большого n.

Отсюда следует, что интервалы между простыми становятся сколь угодно меньше по отношению к простым: частное ${\displaystyle {\frac {g_{n}}{p_{n}}}}$ стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Hoheisel получил возможное значение 32999/33000 для ${\displaystyle \theta }$. Эта оценка была улучшена до 249/250 Хайльброном[6], и до ${\displaystyle \theta ={\frac {3}{4}}+\varepsilon }$ для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ Чудаковым[7].

Основное улучшение было получено Ингемом[8], который показал, что если

${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}$

для некоторой константы ${\displaystyle c>0}$, где O используется в смысле нотации O большое, то

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}}$

для любого ${\displaystyle \theta >{\frac {1+4c}{2+4c}}}$. Здесь, как обычно, ${\displaystyle \zeta }$ обозначает дзета функцию Римана, а ${\displaystyle \pi (x)}$ — функция распределения простых чисел не превосходящих x. Известно, что допускается ${\displaystyle c>{\frac {1}{6}}}$, откуда в качестве ${\displaystyle \theta }$ можно взять любое число, большее ${\displaystyle {\frac {5}{8}}}$. Из результата Ингама сразу следует, что всегда существует простое число между числами ${\displaystyle n^{3}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ для достаточно больших n. Заметим, что ещё не доказана гипотеза Линделёфа, которая утверждает, что в качестве c может быть выбрано любое положительное число, но из неё следует, что всегда существует простое число между ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ для достаточно больших n (см. также Гипотеза Лежандра). Если эта гипотеза верна, то возможно, что необходима ещё более строгая гипотеза Крамера. Одним из достигнутых приближений к гипотезе Лежандра является доказанный факт о том, что ${\displaystyle g(p_{n})=O({p_{n}}^{\frac {21}{40}})}$.[9]

Мартин Хаксли показал, что можно выбрать ${\displaystyle \theta ={\frac {7}{12}}}$[10].

Последний результат принадлежит Бакеру, Харману и Пинцу, показавшим, что ${\displaystyle \theta }$ может быть взято равным 0,525.[9]

В 2005, Дэниел Голдстон, Янос Пинц и Джем Йылдырым доказали, что

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{\ln p_{n}}}=0}$

и позже улучшили это[11] до

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2}}}<\infty }$

В 2013 Чжан Итан представил статью, где доказывается, что[12]

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }g_{n}<70\,000\,000.}$

Этот результат многократно улучшался вплоть до

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }g_{n}<247.}$

В частности, отсюда следует, что множество всех пар простых чисел, разницы между которыми не превосходит 246, бесконечно[13][14].

Роберт Ранкин доказал, что существует константа ${\displaystyle c>0}$ такая, что неравенство

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2}}}}$

сохраняется для бесконечно многих значений n. Наилучшее известное значение для c на текущий момент — это ${\displaystyle c=2e^{\gamma }}$, где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера-Маскерони.[15] Пауль Эрдёш предложил приз в $5000 за доказательство или опровержение того, что константа c в неравенстве выше может быть сколь угодно большой.[16]