Интервалы между простыми числами

Интервалы между простыми числами — это разности между двумя последовательными простыми числами. n-й интервал, обозначаемый , — это разность между (n + 1)-м и n-м простыми числами, то есть

Мы имеем: . Последовательность интервалов между простыми хорошо изучена. Иногда рассматривают функцию вместо

Первые 30 интервалов между простыми числами следующие:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 последовательность A001223 в OEIS.

Простые замечания

Для любого простого числа P, символом P# мы будем обозначать праймориал P, то есть произведение всех простых чисел, не превосходящих P. Если Q — это простое число, следующее за P, то последовательность

является последовательностью из последовательных составных чисел, поэтому существуют интервалы между простыми длины не меньше, чем . Следовательно, существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, и для любого простого P существует n такое, что (Очевидно, что для этого мы можем выбрать n таким, что будет наибольшим простым числом, не превосходящим .). Другой способ увидеть, что существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, использует тот факт, что множество простых чисел имеет нулевую плотность, согласно теореме о распределении простых чисел.

На самом деле, интервал между простыми величины P может встретиться между простыми, гораздо меньшими, чем P#. Например, самая первая последовательность из 71 последовательных составных чисел находится между 31398 и 31468, в то время как 71# является 27-значным числом.

Уже среднее значение интервалов между простыми растет как натуральный логарифм n.

С другой стороны, гипотеза о простых близнецах утверждает, что для бесконечно многих n.

Интервалы между простыми могут быть оценены сверху и снизу с помощью функции Якобсталя (последовательность A048670 в OEIS).

Численные результаты

На 2009 год наибольший известный интервал между числами, определёнными как вероятно простые, имеет длину 2 254 930, с 86 853-значными вероятно простыми был найден H. Rosenthal и J. K. Andersen[1].

Отношение M=gn/ln(pn) показывает, во сколько раз данный интервал gn отличается от среднего интервала между простыми вблизи простого числа pn. На 2017 год наибольшее известное значение M=41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределенных вычислений Gapcoin[2].

Отношение S=gn/ln2pn (oтношение Крамера — Шенкса — Грэнвилля) изучают в связи с гипотезой Крамера, утверждающей, что . Если не рассматривать аномально высокие значения S, наблюдающиеся для то наибольшее известное значение S=0,9206386 обнаружено для интервала длиной 1132, следующего за 16-значным простым числом 1693182318746371. Этот рекорд нашел в 1999 году Bertil Nyman[3] (последовательность A111943 в OEIS содержит это и все предшествующие простые числа , соответствующие рекордным значениям S).

Будем говорить, что является максимальным интервалом, если для всех будет . Meжду первыми простыми числами наблюдается приблизительно максимальных интервалов[4]; см. также последовательность A005250 в OEIS.

Первые 80 максимальных интервалов (n не приводится; см. OEIS A005669)
От 1 до 30
#gnpn
112
223
347
4623
5889
614113
718523
820887
9221129
10341327
11369551
124415683
135219609
147231397
1586155921
1696360653
17112370261
18114492113
191181349533
201321357201
211482010733
221544652353
2318017051707
2421020831323
2522047326693
26222122164747
27234189695659
28248191912783
29250387096133
30282436273009
От 31 до 60
#gnpn
312881294268491
322921453168141
333202300942549
343363842610773
353544302407359
3638210726904659
3738420678048297
3839422367084959
3945625056082087
4046442652618343
41468127976334671
42474182226896239
43486241160624143
44490297501075799
45500303371455241
46514304599508537
47516416608695821
48532461690510011
49534614487453523
50540738832927927
515821346294310749
525881408695493609
536021968188556461
546522614941710599
556747177162611713
5671613829048559701
5776619581334192423
5877842842283925351
5980490874329411493
60806171231342420521
От 61 до 80
#gnpn
61906218209405436543
629161189459969825483
639241686994940955803
6411321693182318746371
65118443841547845541059
66119855350776431903243
67122080873624627234849
681224203986478517455989
691248218034721194214273
701272305405826521087869
711328352521223451364323
721356401429925999153707
731370418032645936712127
741442804212830686677669
7514761425172824437699411
7614885733241593241196731
7715106787988999657777797
78152615570628755536096243
79153017678654157568189057
80155018361375334787046697
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90

Наибольшие интервалы первых десяти тысяч

Уже во второй тысяче имеется интервал, длиной 34 числа, в котором нет простых чисел — (1327—1361). Причём, этот интервал удерживает свой рекорд длины до десятой тысячи. Лишь в девятой тысяче имеется второй интервал такой же длины — (8467—8501), а в десятой — более длинный интервал (36 чисел) — (9551—9587), который и является самым длинным интервалом первых десяти тысяч. Имеется также интервал длиной 32 числа — (5591—5623).

Дальнейшие результаты

Верхние оценки

Постулат Бертрана утверждает, что для любого k всегда существует хотя бы одно простое число между k и 2k, поэтому, в частности, , откуда .

Теорема о распределении простых чисел говорит, что «средняя длина» интервалов между простым p и следующим простым числом имеет порядок . Фактическая длина интервалов может быть больше или меньше этого значения. Однако, из теоремы о распределении простых чисел можно вывести, верхнюю оценку для длины интервалов простых чисел: для любого существует такое N, что для всех будет .

Хохайзель первым показал[5] что существует такое постоянное

при

отсюда следует, что

для достаточно большого n.

Отсюда следует, что интервалы между простыми становятся сколь угодно меньше по отношению к простым: частное стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Hoheisel получил возможное значение 32999/33000 для . Эта оценка была улучшена до 249/250 Хайльброном[6], и до для любого Чудаковым[7].

Основное улучшение было получено Ингемом[8], который показал, что если

для некоторой константы , где O используется в смысле нотации O большое, то

для любого . Здесь, как обычно, обозначает дзета функцию Римана, а  — функция распределения простых чисел не превосходящих x. Известно, что допускается , откуда в качестве можно взять любое число, большее . Из результата Ингама сразу следует, что всегда существует простое число между числами и для достаточно больших n. Заметим, что ещё не доказана гипотеза Линделёфа, которая утверждает, что в качестве c может быть выбрано любое положительное число, но из неё следует, что всегда существует простое число между и для достаточно больших n (см. также Гипотеза Лежандра). Если эта гипотеза верна, то возможно, что необходима ещё более строгая гипотеза Крамера. Одним из достигнутых приближений к гипотезе Лежандра является доказанный факт о том, что .[9]

Мартин Хаксли показал, что можно выбрать [10].

Последний результат принадлежит Бакеру, Харману и Пинцу, показавшим, что может быть взято равным 0,525.[9]

В 2005, Дэниел Голдстон, Янос Пинц и Джем Йылдырым доказали, что

и позже улучшили это[11] до

В 2013 Чжан Итан представил статью, где доказывается, что[12]

Этот результат многократно улучшался вплоть до

В частности, отсюда следует, что множество всех пар простых чисел, разницы между которыми не превосходит 246, бесконечно[13][14].

Нижние оценки

Роберт Ранкин доказал, что существует константа такая, что неравенство

сохраняется для бесконечно многих значений n. Наилучшее известное значение для c на текущий момент — это , где  — постоянная Эйлера-Маскерони.[15] Пауль Эрдёш предложил приз в $5000 за доказательство или опровержение того, что константа c в неравенстве выше может быть сколь угодно большой.[16]

Гипотезы об интервалах между простыми числами

Primegap function

Здесь возможны ещё лучшие результаты, чем те, которые могут быть получены при предположении истинности гипотезы Римана. Харальд Крамер доказал, что если гипотеза Римана верна, то интервалы удовлетворяют соотношению

(здесь используется нотация O большое). Позже он предположил, что интервалы растут гораздо меньше. Грубо говоря, он предположил, что

В данный момент на это указывают численные расчеты. Для более детальной информации см. Гипотеза Крамера.

Гипотеза Андрицы утверждает, что

Это слабое усиление гипотезы Лежандра, которая утверждает, что между любой парой квадратов натуральных чисел существует хотя бы одно простое число.

Интервалы между простыми как арифметическая функция

Интервал между n-м и (n + 1)-м простым числом является примером арифметической функции. В таком контексте обычно её обозначают и называют разностью между простыми[16]. Разность между простыми не является ни мультипликативной, ни аддитивной арифметической функцией.

См. также

Примечания

  1. Largest known prime gap
  2. Nicely, T.R., New prime gap of maximum known merit. Дата обращения: 6 июня 2020.
  3. Nicely, T.R., First occurrence prime gaps. Дата обращения: 6 июня 2020.
  4. Kourbatov, А. On the nth record gap between primes in an arithmetic progression (англ.) // Int. Math. Forum : journal. — 2018. Vol. 13, no. 2. P. 65—78. doi:10.12988/imf.2018.712103. arXiv:1709.05508.
  5. Hoheisel, G. Primzahlprobleme in der Analysis (неопр.) // Sitzunsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — 1930. Т. 33. С. 3—11.
  6. Heilbronn, H. A. Uber den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel (англ.) // Mathematische Zeitschrift : journal. — 1933. Vol. 36, no. 1. P. 394—423. doi:10.1007/BF01188631.
  7. Tchudakoff, N. G. On the difference between two neighboring prime numbers (англ.) // Math. Sb. : journal. — 1936. Vol. 1. P. 799—814.
  8. Ingham, A. E. On the difference between consecutive primes (англ.) // Quarterly Journal of Mathematics : journal. — 1937. Vol. 8, no. 1. P. 255—266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.
  9. Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, G.; Pintz, J. The difference between consecutive primes, II (неопр.) // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2001. Т. 83, № 3. С. 532—562. doi:10.1112/plms/83.3.532.
  10. Huxley, M. N. On the Difference between Consecutive Primes (англ.) // Inventiones Mathematicae : journal. — 1972. Vol. 15, no. 2. P. 164—170. doi:10.1007/BF01418933.
  11. arXiv:0710.2728
  12. Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — Princeton University and the Institute for Advanced Study.
  13. Bounded gaps between primes. Polymath. Дата обращения: 21 июля 2013.>
  14. D.H.J. Polymath. Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes (англ.) // Research in the Mathematical Sciences : journal. — 2014. Vol. 1. doi:10.1186/s40687-014-0012-7. arXiv:1407.4897.
  15. Pintz, J. Very large gaps between consecutive primes (англ.) // J. Number Theory : journal. — 1997. Vol. 63, no. 2. P. 286—301. doi:10.1006/jnth.1997.2081.
  16. Guy, R. K. Unsolved problems in number theory (неопр.). — Third. — New York: Springer, 2004. — С. 31. — ISBN 0387208607.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.