Гипотеза Андрицы

Гипотеза Андрицы — гипотеза относительно интервалов между простыми числами, согласно которой неравенство:

{\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1

(а) Функция

A_{n}

для первых 100 простых.

(б) Функция

A_{n}

для первых 200 простых.

(в) Функция

A_{n}

для первых 500 простых.

Графическое свидетельство в поддержку гипотезы Андрицы для первых (а) 100, (б) 200 и (в) 500 простых чисел. Функция

A_{n}

всегда меньше 1.

выполняется для всех $n$ , где $p_{n}$ является $n$ -м простым числом. Если $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ означает $n$ -й интервал, то гипотезу Андрицы можно переписать как:

g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1

.

Сформулирована румынским математиком Дорином Андрицей в 1986 году[1].

Эмпирическое подтверждение

В начале 2000-х годов с использованием данных о наибольших интервалах простых чисел гипотеза проверена вплоть до $1{,}3002\times 10^{16}$ [2]. Используя таблицу максимальных интервалов и неравенство для интервалов, можно расширить значение подтверждения вплоть до $4\times 10^{18}$ .

Существует графическая иллюстрация гипотезы: для дискретной функции $A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$ (функции Андрицы) наибольшее значение наблюдается в точке $n=4$ со значением $A_{4}\approx 0{,}670873\dots$ , и бóльших значений нет среди первых 10⁵ простых чисел. Поскольку функция Андрицы асимптотически убывает по мере возрастания $n$ , гипотеза с большой вероятностью верна, но остаётся недоказанной.

Обобщения

В качестве обобщения гипотезы Андрицы рассматривается следующее равенство:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,

где $p_{n}$ — $n$ -ое простое, а $x$ может быть любым положительным (вещественным) числом.

Наибольшее возможное решение по $x$ находится при $n=1$ , когда $x_{\max }=1$ . Есть гипотеза, что наименьшее значение $x$ равно $x_{\min }\approx 0{,}567148\dots$ [3], которое находится при $n=30$ .

Эта гипотеза формулируется в виде неравенства, обобщающего гипотезу Андрицы:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1

для

x<x_{\min }

.

См. также

Примечания

Andrica, 1986, с. 44–48.
Wells, 2005, с. 13.
последовательность A038458 в OEIS

Литература

Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2.
Andrica D. Note on a conjecture in prime number theory // Studia Univ. Babes–Bolyai Math.. — 1986. — Т. 31, № 4. — С. 44–48. — ISSN 0252-1938.
Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. — John Wiley & Sons, Inc., 2005. — ISBN 0-471-46234-9.

Ссылки

Andrica’s Conjecture at PlanetMath
Generalized Andrica conjecture at PlanetMath
Weisstein, Eric W. Andrica's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_ec8776c261842dcc-1] Andrica, 1986, с. 44–48.

[_e3670563c467bb3d-2] Wells, 2005, с. 13.

[3] последовательность A038458 в OEIS