Гипотеза Пойи

Гипотеза Пойи — гипотеза в теории чисел, выдвинутая Дьёрдем Пойей в 1919 году и опровергнутая Хейзелгроувом в 1958 году. Значение наименьшего контрпримера к ней — 906 150 257 — часто используется как иллюстрация к тому, что даже гипотезы, проверенные на огромных числовых промежутках, могут быть опровергнуты и требуют строгих доказательств.

График сумм ${\displaystyle L(n)}$ вплоть до ${\displaystyle n=10^{7}}$. Колебания обусловлены первыми нетривиальными нулями дзета-функции Римана.

Отрезок, на котором впервые нарушается гипотеза Пойи, крупным планом.

Логарифмический график ${\displaystyle L(n)}$ вплоть до ${\displaystyle n=2\cdot 10^{9}}$. Зелёным выделен участок, в котором происходит первое нарушение гипотезы. Синяя кривая показывает вклад нетривиальных нулей дзета-функции Римана в колебания функции ${\displaystyle L(n)}$.

Гипотеза утверждает, что не меньше половины натуральных чисел, меньших любого заранее фиксированного числа, разлагаются на нечётное количество простых множителей с учётом кратности, то есть для любого ${\displaystyle n}$ выполнено неравенство:

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leqslant 0}$,

где ${\displaystyle \lambda (k)}$ — функция Лиувилля, принимающая значение ${\displaystyle 1}$, если ${\displaystyle k}$ разлагается на чётное количество простых множителей с учётом кратности, и ${\displaystyle -1}$ в противном случае. Здесь фраза «с учётом кратности» означает, что каждый множитель учитывается количество раз, равное его степени в разложении.

Гипотеза была опровергнута в 1958 году Хейзелгроувом, показавшим, что существует контрпример, и оценившим его в примерно ${\displaystyle 1{,}845\cdot 10^{361}}$. Первый конкретный контрпример был найден Шерманом-Леманом в 1960 году — 906 180 359. В 1980 году был вычислен наименьший контрпример — 906 150 257. Гипотеза ложна для большинства чисел между 906 150 257 и 906 488 079; максимум, которого достигает ${\displaystyle L(n)}$ в этом диапазоне — 829 (для 906 316 571). Неизвестно, меняет ли ${\displaystyle L(n)}$ знак бесконечное количество раз[1].