Гипотеза Диксона

Пусть k — натуральное число, рассмотрим k арифметических прогрессий ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k}}$ с целыми ${\displaystyle a_{j},b_{j}}$, причем ${\displaystyle a_{j}\geqslant 1}$. Гипотеза Диксона предполагает, что существует бесконечно много натуральных n таких, что для каждого такого n все k чисел ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k}}$ являются простыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число ${\displaystyle a_{j}n+b_{j}}$ кратно p. Это ограничение можно переформулировать так: неверно что для любого n выполняется сравнение ${\displaystyle (a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod {p}}}$. В последнем случае на p может делиться как несколько прогрессий при разных n, так и одна прогрессия при всех n. Например, для 2-х прогрессий ${\displaystyle n,2n}$ всегда ${\displaystyle 2\mid 2n}$, а для 2-х других прогрессий ${\displaystyle n,n+3}$ при четных n ${\displaystyle 2\mid n}$, а при нечетных — ${\displaystyle 2\mid n+3}$, так что в парах прогрессий ${\displaystyle n,2n}$ и ${\displaystyle n,n+3}$ число простых пар не бесконечно.

Заметим также, что формулировка гипотезы получается более естественной, если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, в частности, считать простыми не только положительные числа ${\displaystyle 2,3,5,...}$, но и отрицательные числа ${\displaystyle -2,-3,-5,...}$ (каковые действительно являются простыми элементами в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в обычном смысле). В таком случае нет необходимости требовать положительность всех значений всех прогрессий ${\displaystyle a_{j}n+b_{j}}$ и значит условие ${\displaystyle a_{j}\geqslant 1}$ можно ослабить до ${\displaystyle a_{j}\neq 0}$, а последнее вообще можно убрать, поскольку иначе ${\displaystyle a_{j}n+b_{j}}$ — не арифметическая прогрессия.

• Случай ${\displaystyle k=1}$ уже доказан — это теорема Дирихле.
• Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется бесконечно много простых чисел-близнецов (n и n + 2 простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен (n и 2n + 1 простые).
• Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида ${\displaystyle n,n+2t}$, t — фиксированное натуральное число (то есть бесконечно число простых пар ${\displaystyle (n,n+2)}$, ${\displaystyle (n,n+4)}$, ${\displaystyle (n,n+6)}$ и т. п.).
• Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p такого, что для всех n ${\displaystyle p\mid (n+b_{1})(n+b_{2})...(n+b_{k})}$, то число последовательных простых бесконечно (это опять же пары ${\displaystyle (n,n+2)}$, тройки ${\displaystyle (n,n+2,n+6)}$, четверки ${\displaystyle (n,n+2,n+6,n+8)}$ и т. д.)
• В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность чисел Кармайкла, содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.

Пусть ${\displaystyle w(p)}$ — число решений сравнения ${\displaystyle (a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod {p}}}$. Согласно предположению гипотезы, ${\displaystyle w(p)<p}$ и тогда согласно эвристическим рассуждениям в пользу гипотезы Бейтмана-Хорна, получаем, что плотность чисел n, не превосходящих x, для которых все числа ${\displaystyle a_{j}n+b+j}$ простые, оценивается величиной

${\displaystyle \prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln ^{k}t}},}$

здесь произведение берется по всем простым числам p, а ${\displaystyle \ln }$ — натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентна ${\displaystyle \prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}{\frac {x}{\ln ^{k}x}},}$ но 1-е выражение должно быть точнее. При ${\displaystyle k=1}$, нетрудно проверить, коэффициент будет равен ${\displaystyle {\frac {1}{\varphi (a_{1})}}}$, что соответствует теореме Дирихле (здесь ${\displaystyle \varphi }$ — функция Эйлера).

Гипотеза Диксона была позже обобщена Шинцелем до гипотезы Шинцеля.

• Простые числа-триплеты
• Простые числа Софи Жермен
• Гипотеза Полиньяка
• Теорема Грина — Тао
• Арифметические прогрессии из простых чисел
• Гипотеза Бейтмана — Хорна

• Dickson, L. E. (1904), A new extension of Dirichlet's theorem on prime numbers, Messenger of mathematics Т. 33: 155–161, <https://books.google.com/books?id=i8MKAAAAIAAJ&pg=PA155>
• Ribenboim, Paulo (1996), The new book of prime number records, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94457-9, <https://books.google.com/books?id=72eg8bFw40kC>
• http://primes.utm.edu/glossary/xpage/DicksonsConjecture.html