Проблемы Ландау

Теорема Виноградова доказывает слабую гипотезу Гольдбаха для достаточно большого n. В 2013 Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел больших 5[1]. В отличие от проблемы Гольдбаха, слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы.

Теорема Чэня доказывает, что для всех достаточно больших n ${\displaystyle 2n=p+q}$, где p простое, а q либо простое, либо полупростое. Монтгомери и Воган показали, что чётные числа, не представимые в виде суммы двух простых, имеет плотность нуль[2].

В 2015 Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня[3]: любое чётное число, большее ${\displaystyle e^{e^{36}}\approx 1.7\cdot 10^{1872344071119348}}$, является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых.

Чжан Итан[4] показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с проектом «Polymath»[5]. При принятии обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама оценка улучшается до 6 (Мейнард[6], Голдстон, Пинц и Йылдырым[7]).

Чень показал, что имеется бесконечно много простых чисел p (позднее названных простыми числами Чэня), таких, что p+2 является простым или полупростым.

Достаточно проверить, что каждый промежуток между простыми числами, большими p, меньше величины ${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$. Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна вплоть до 4×10¹⁸[8]. Контрпример около 10¹⁸ должен иметь промежуток в пятьдесят миллионов раз больше среднего промежутка. Матомаки показал, что существует не более ${\displaystyle x^{1/6}}$ нарушающих гипотезу примеров с последующим промежутком, большим ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$. В частности,

${\displaystyle \sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>x^{1/2}}{x\leq p_{n}\leq 2x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{2/3}.}$[9].

Результат Ингема показывает, что существует простое между ${\displaystyle n^{3}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ для любого достаточно большого n[10].

Теорема Фридландера — Иванеца показывает, что бесконечно большое количество простых чисел имеют вид ${\displaystyle x^{2}+y^{4}}$[11].

Иванец показал, что существует бесконечное количество чисел вида ${\displaystyle n^{2}+1}$ с максимум двумя простыми делителями[12][13].

Анкени доказал, что при верности обобщённой гипотезы Римана для L-функций на характерах Гекке существует бесконечно много простых чисел вида ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ с ${\displaystyle y=O(\log x)}$[14].

Дешуиллерс и Иванец[15], улучшив результат Хули[16] и Тодда[17], показали, что существует бесконечно много чисел вида ${\displaystyle n^{2}+1}$ с бо́льшим простым множителем по меньшей мере ${\displaystyle n^{1.2}}$. Если заменить показатель на 2, получим утверждение гипотезы.

В обратную сторону, решето Бруна показывает, что существует ${\displaystyle O({\frac {\sqrt {x}}{\log x}})}$ таких простых, меньших x.