Гипотеза Бейтмана — Хорна

Гипотеза Бейтмана — Хорна обеспечивает^{[уточнить]} предполагаемую плотность положительных целых чисел, при которой все заданные полиномы имеют простые значения. Для набора m различных неприводимых многочленов ƒ₁, …, ƒ_m с целыми коэффициентами, очевидное необходимое условие для того, чтобы полиномы одновременно порождали простые значения бесконечно часто, состоит в том, что они удовлетворяют свойству Буняковского, что не существует простого числа p, которое делит их произведение f(n) на каждое положительное целое число n. Ибо, если бы было такое простое число p, то наличие всех значений многочленов одновременно простых для данного n означало бы, что по крайней мере один из них должен быть равен p, что может произойти только для конечного числа значений n, иначе будет многочлен с бесконечным числом корней, тогда как гипотеза состоит в том, как задать условия, при которых значения одновременно являются простыми для бесконечного числа n.

Целое число n является порождающим простое число для данной системы многочленов, если каждый многочлен ƒ_i(n) даёт простое число, когда задано n в качестве аргумента. Если P(x) — это количество целых чисел, порождающих простые числа среди положительных целых чисел, меньших x, тогда гипотеза Бейтмана-Хорна утверждает, что

${\displaystyle P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,}$

где D — произведение степеней полиномов, а C — произведение простых чисел p.

${\displaystyle C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m}}}\ }$

с ${\displaystyle N(p)}$ количество решений для

${\displaystyle f(n)\equiv 0{\pmod {p}}.\ }$

Свойство Буняковского подразумевает ${\displaystyle N(p)<p}$ для всех простых чисел p, поэтому каждый множитель в бесконечном произведении C положителен. Тогда интуитивно можно ожидать, что константа C сама по себе положительна, и с некоторой работой это можно доказать. (Работа необходима, поскольку некоторые бесконечные произведения положительных чисел равны нулю.)

Как указано выше, гипотеза неверна: единственный многочлен ƒ₁(x) = −x даёт только отрицательные числа, когда задан положительный аргумент, поэтому доля простых чисел среди его значений всегда равна нулю. Есть два равнозначных способа уточнить гипотезу, чтобы избежать этой трудности:

• Можно потребовать, чтобы все полиномы имели положительные ведущие коэффициенты, так что только постоянное количество их значений может быть отрицательным.
• В качестве альтернативы можно разрешить отрицательные ведущие коэффициенты, но считать отрицательное число простым, если его абсолютное значение является простым.

Разумно позволить отрицательным числам считаться простыми числами в качестве шага к формулировке более общих предположений, применимых к другим системам чисел, чем целые числа, но в то же время легко просто отрицать полиномы, и если необходимо, свести к случаю, когда старшие коэффициенты положительны.

Если система многочленов состоит из одного многочлена ƒ₁(x) = x, тогда значения n, для которых ƒ₁(n) являются простыми числами, сами по себе являются простыми числами, и гипотеза становится переформулировкой теоремы о простых числах.

Если система многочленов состоит из двух многочленов ƒ₁(x) = x и ƒ₂(x) = x + 2, тогда значения n, для которых оба ƒ₁(n) и ƒ₂(n) — простые числа, то это просто меньшее из двух простых чисел в каждой паре чисел-близнецов. В этом случае гипотеза Бейтмана — Хорна сводится к гипотезе Харди — Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов, согласно которой количество пар простых чисел-близнецов меньше x является

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\approx 1.32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

Когда целые числа заменяются кольцом многочленов F[u] для конечного поля F, можно спросить, как часто конечный набор многочленов f_i(x) в F[u][x] одновременно принимает неприводимые значения в F[u], когда мы заменяем x элементами F[u]. Хорошо известные аналогии между целыми числами и F[u] предлагают аналог гипотезы Бейтмана — Хорна о F[u], но аналог неверен. Например, данные показывают, что многочлен

${\displaystyle x^{3}+u\,}$

в F₃[u][x] принимает (асимптотически) ожидаемое количество неприводимых значений, когда x пробегает многочлены в F₃[u] нечётной степени, но он, кажется, принимает (асимптотически) вдвое больше неприводимых значений, чем ожидалось, когда x пробегает многочлены степени, равной 2 по модулю 4, в то время как он (доказуемо) вообще не принимает неприводимых значений, когда x пробегает непостоянные многочлены со степенью, кратной 4. Аналог гипотезы Бейтмана — Хорна о F[u], который соответствует числовым данным, использует дополнительный множитель в асимптотике, который зависит от значения d по модулю 4, где d — это степень многочленов в F[u], по которым производится выборка x.

• Бейтман Пол Тревье,Хорн Роджер Алан (1962), Эвристическая асимптотическая формула распределения простых чисел, Математика вычислений Т. 16 (79): 363–367, DOI 10.2307/2004056
• Гай, Ричард Кеннет (2004), Нерешённые проблемы теории чисел (3rd ed.), Издательство Шпрингер, ISBN 978-0-387-20860-2
• Фридлендер Джон, Гранвиль Эндрю (1991), Ограничения равномерного распределения простых чисел. IV., Труды Королевского общества А Т. 435 (1893): 197–204, DOI 10.1098/rspa.1991.0138.
• Сорен Лэйнг Алетия-Зомлефер, Ленни Фукшски, Стефан Рамон Гарсия (25 июля 2018), ОДНА ГИПОТЕЗА, ЧТОБЫ УПРАВЛЯТЬ ИМИ ВСЕМИ: БЕЙТМАН–ХОРН, с. 1–45