Гипотеза Гильбрайта

Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждающая, что если взять последовательность простых чисел и итерационно применять к ней разностный оператор, то получаемые на каждом шаге последовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получила известность после того, как была опубликована в 1958 году Норманом Гильбрайтом[1]. Однако, ещё в 1878 году Франсуа Прот публиковал предполагаемое доказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, было ошибочным[1].

Истоки гипотезы

Рассмотрим последовательность простых чисел

Вычислим абсолютные значения разностей между каждой парой соседних членов и выпишем полученную последовательность:

Продолжая выполнять данную операцию для каждой новой полученной последовательности, будем получать следующее:

Видим, что первый элемент каждой последовательности равен .

Гипотеза

Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим упорядоченную последовательность простых чисел , и определим члены последовательности как

,

где n — натуральное. Считаем также, что и для каждого натурального , определим последовательность формулой

.

(здесь  — это не степень, а верхний индекс)

Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности равен .

Проверка и попытки доказательства

На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, Франсуа Прот привёл доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. Эндрю Одлыжко в 1993 проверил, что равно 1 для всех [2], но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех рядов таблицы, Одлыжко вычислил рядов и установил, что -я ряд начинается с и далее вплоть до -го элемента состоит только из чисел и . Отсюда следует, что все последующие рядов начинаются с единицы.

Последовательности для простых чисел до 150

В таблице ниже нули выделены зелёным цветом, единицы — красным, двойки — синим, прочие числа — серым. Суть гипотезы состоит в том, что серая область никогда не достигнет красного столбца из единиц.

2357111317192329313741434753596167717379838997101103107109113127131137139149
122424246264246626426468424241446210
10222222442222044224222422221010248
12000002020002402022002200080824
1200002222002242220202020088862
120002000202022002222222080024
12002200222220202000000288022
1202020200002222200000260820
122222220002000020000246862
10000002002200022000222224
1000002202020020200200002
100002022222022220220002
10002220000220002202002
1002002000202002022202
102202200222202220022
12022020200022002020
1220222220020202222
102200002022222000
12020002220000200
1222002002000220
100202202200202
10222022020222
1200220222200
120202200020
12222020022
1000222020
100200222
10220200
1202220
122002
10202
1222
100
10
1

См. также

Примечания

Литература

  • В.  Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — Л., ФизМатЛит, 1963.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.