Гипотеза Гильбрайта

Рассмотрим последовательность простых чисел

${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots }$

Вычислим абсолютные значения разностей между каждой парой соседних членов и выпишем полученную последовательность:

${\displaystyle 1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\dots }$

Продолжая выполнять данную операцию для каждой новой полученной последовательности, будем получать следующее:

${\displaystyle 1,0,2,2,2,2,2,2,4,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,2,\dots }$

Видим, что первый элемент каждой последовательности равен ${\displaystyle 1}$.

Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ упорядоченную последовательность простых чисел ${\displaystyle p_{n}}$, и определим члены последовательности ${\displaystyle \{d_{n}\}}$ как

${\displaystyle d_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$,

где n — натуральное. Считаем также, что ${\displaystyle \{d_{n}\}=\{d_{n}^{1}\}}$ и для каждого натурального ${\displaystyle k>1}$, определим последовательность ${\displaystyle \{d_{n}^{k}\}}$ формулой

${\displaystyle d_{n}^{k}=|d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|}$.

(здесь ${\displaystyle k}$ — это не степень, а верхний индекс)

Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности ${\displaystyle a_{k}=d_{1}^{k}}$ равен ${\displaystyle 1}$.

На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, Франсуа Прот привёл доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. Эндрю Одлыжко в 1993 проверил, что ${\displaystyle d_{1}^{k}}$ равно 1 для всех ${\displaystyle k\leqslant n=3{,}4\cdot 10^{11}}$[2], но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех ${\displaystyle n}$ рядов таблицы, Одлыжко вычислил ${\displaystyle 635}$ рядов и установил, что ${\displaystyle 635}$-я ряд начинается с ${\displaystyle 1}$ и далее вплоть до ${\displaystyle n}$-го элемента состоит только из чисел ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 2}$. Отсюда следует, что все последующие ${\displaystyle n}$ рядов начинаются с единицы.

В таблице ниже нули выделены зелёным цветом, единицы — красным, двойки — синим, прочие числа — серым. Суть гипотезы состоит в том, что серая область никогда не достигнет красного столбца из единиц.

• Пробелы между простыми
• Открытые проблемы в теории чисел

• В.  Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — Л., ФизМатЛит, 1963.

• Weisstein, Eric W. Гипотеза Гильбрайта (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.