Итерация (математика)

Итерация (от лат. iteratio «повторение») — результат повторного применения какой-либо математической операции. Так, если ${\displaystyle y=f(x)=f_{1}(x)}$ есть некоторая функция от ${\displaystyle x}$ (отображающая область определения в себя), то функции ${\displaystyle f_{2}(x)=f[f_{1}(x)],f_{3}(x)=f[f_{2}(x)],\ldots ,f_{n}(x)=f[f_{n-1}(x)]}$ называются соответственно второй, третьей,..., n-й итерациями функции ${\displaystyle f(x)}$. Например, полагая ${\displaystyle f(x)=x^{a}}$, получают ${\displaystyle f_{2}(x)=(x^{a})^{a}=x^{a^{2}},f_{3}(x)=(x^{a^{2}})^{a}=x^{a^{3}},\ldots ,f_{n}(x)=(x^{a^{n-1}})^{a}=x^{a^{n}}}$. Индекс n называют показателем итерации, а переход от функции ${\displaystyle f(x)}$ к ${\displaystyle f_{2}(x),f_{3}(x),\ldots }$ — итерированием. Итерации появляются при решении различного рода уравнений и систем уравнений итерационными методами (например метод итерации), которые играют важную роль в теории интегральных уравнений. Итеративные методы играют важную роль в теории игр и математическом программировании.