Гипотеза Брокара

Формулировка: [1]

Между квадратами подряд идущих простых чисел, за исключением первых двух, всегда найдётся хотя бы 4 простых числа. Иначе говоря, все числа последовательности ${\displaystyle \pi (p_{n+1}^{2})-\pi (p_{n}^{2})}$, кроме первого, не меньше 4, где ${\displaystyle \pi (x)}$ — количество простых чисел, меньших ${\displaystyle x}$.

n	${\displaystyle p_{n}}$	${\displaystyle p_{n}^{2}}$	Простые числа	${\displaystyle \Delta }$
1	2	4	5, 7	2
2	3	9	11, 13, 17, 19, 23	5
3	5	25	29, 31, 37, 41, 43, 47	6
4	7	49	53, 59, 61, 67, 71…	15
5	11	121	127, 131, 137, 139, 149…	9
${\displaystyle \Delta }$ обозначает ${\displaystyle \pi (p_{n+1}^{2})-\pi (p_{n}^{2})}$.

На начало 2020 года не доказана и является одной из открытых математических проблем. Верна для первых 10 тыс. простых чисел, см. сдвинутую на один вправо последовательность последовательность A050216 в OEIS: 2, 2 (№ 1), 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27, 47, 16, 57, 44…

Схожая и тоже недоказанная Гипотеза Лежандра, также называемая третьей проблемой Ландау, утверждает, что[2]

Между квадратами двух последовательных натуральных чисел всегда найдётся простое число, или, что равносильно, функция ${\displaystyle \pi (n^{2})}$ строго возрастает с ростом ${\displaystyle n}$.