Гипотеза Лежандра

Из теоремы о распределении простых чисел следует, что число простых чисел между ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{2}}$[2] асимптотически стремится к ${\displaystyle n/ln(n)}$. Поскольку это число растёт при росте ${\displaystyle n}$, это даёт основания для гипотезы Лежандра.

Если гипотеза верна, интервал между любым простым ${\displaystyle p}$ и следующим простым всегда должен быть порядка ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$[3], а в ${\displaystyle O}$-нотации интервал равен ${\displaystyle O({\sqrt {p}})}$. Две более сильные гипотезы — гипотеза Андрицы и гипотеза Оппермана — предполагают то же самое поведение интервалов. Гипотеза не даёт решение гипотезы Римана, но усиливает одно из следствий в случае верности гипотезы.

Если верна гипотеза Крамера (о том, что промежутки имеют порядок ${\displaystyle (\log p)^{2}}$), то гипотеза Лежандра будет следовать из неё для достаточно больших ${\displaystyle n}$. Крамер также показал, что из гипотезы Римана вытекает более слабая граница ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\log p)}$ размера наибольшего интервала между простыми числами[4].

Контрпример в районе 10¹⁸ должен был бы иметь интервал в 50 миллионов раз больше среднего интервала.

Из гипотезы Лежандра следует, что по меньшей мере одно простое может быть найдено в каждой половинке оборота спирали Улама.

В начале 2000-х годов установлено, что существует простое число в интервале ${\displaystyle [x,\,x+O(x^{21/40})]}$ для всех больших ${\displaystyle x}$[5].

Таблица максимальных интервалов простых чисел показывает, что гипотеза выполняется до ${\displaystyle n^{2}=4\cdot 10^{18}}$ [6].

Было доказано, что для бесконечного количества чисел ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ выполняется:

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {1}{2}}\left({\frac {(n+1)^{2}}{\log(n+1)}}-{\frac {n^{2}}{\log(n)}}\right)-{\frac {\log(n)^{2}}{\log(\log(n))}}\right\rfloor \leq \pi \left((n+1)^{2}\right)-\pi \left(n^{2}\right)}$,

где ${\displaystyle \pi }$ — функция распределения простых чисел[7].

• Постулат Бертрана
• Гипотеза Брокара
• Гипотеза Фирузбэхт

• Baker R. C., Harman G., Pintz G., Pintz J. The difference between consecutive primes, II // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2001. — Т. 83, вып. 3. — С. 532–562. — doi:10.1112/plms/83.3.532.
• Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi. Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to ${\displaystyle 4\cdot 10^{18}}$ // Mathematics of Computation. — 2014. — Т. 83, вып. 288. — С. 2033–2060. — doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1.
• Ian Stewart. Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems. — Basic Books, 2013. — ISBN 9780465022403..

• Weisstein, Eric W. Legendre's conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Hashimoto, Tsutomu (2008), On a certain relation between Legendre's conjecture and Bertrand's postulate, arΧiv:0807.3690

• Mitra, Adway; Paul, Goutam & Sarkar, Ushnish (2009), Some conjectures on the number of primes in certain intervals, arΧiv:0906.0104

• Paz, German (2013), On Legendre's, Brocard's, Andirca's and Oppermann's conjectures, arΧiv:1310.1323