L-функция

Мы будем различать L-ряды, то есть представления через ряды (например, ряд Дирихле для дзета-функции Римана), и L-функции, то есть аналитические продолжения функции на всей комплексной плоскости. Общее построение начинается с L-рядов, сначала определяемых как рад Дирихле, и их разложения в эйлерово произведение с индексом, пробегающим простые числа. Рассмотрение требует доказательства сходимости ряда в некоторой правой полуплоскости поля комплексных чисел. Потом спрашивается, может ли определяемая функция быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость (возможно, с появлением нескольких полюсов).

Гипотетическое мероморфное продолжение на комплексную плоскость называется L-функцией. Уже в классических случаях известно, что полезная информация содержится в значениях и в поведении L-функции в её нулях и полюсах. Общий термин «L-функция» здесь включается в себя также многие типы дзета-функций. Класс Сельберга — это попытка описать все основные свойства L-функций с помощью множества аксиом, чтобы изучать свойства класса вместе, а не по отдельности.

Ниже приведён список характеристик известных L-функций, которые желательно увидеть в общем виде:

• расположение нулей и полюсов;
• Функциональное уравнение, сучётом некоторых вертикальных прямых ${\displaystyle \operatorname {Re} s=\operatorname {const} }$;
• интересные значения в целых числах, связанные с параметрами алгебраической K-теории

Подробная работа была порождена большим объёмом правдоподобных гипотез, например, о точном типе функционального уравнения, которое должно выполняться для L-функций. Так как дзета-функция Римана связывает свои значения в положительных четных целых числах (и отрицательных нечетных целых числах) с числами Бернулли, то идет поиск соответствующего обобщения этого явления. В этом случае были получены результаты для p-адических L-функций, которые описывают определенный модуль Галуа.

Статистика распределения нулей представляет интерес из-за их связи с такими проблемами, как обобщенная гипотеза Римана, распределение простых чисел и т. д. Связи с теорией случайных матриц и квантовым хаосом также представляют интерес. Фрактальная структура распределений также представляют интерес[2]. Самоподобие распределения нулей весьма примечательно и характеризуется большой фрактальной размерностью 1,9. Эта довольно большая фрактальная размерность находится над нулями, покрывающими не менее пятнадцати порядков амплитуды для дзета-функции Римана, а также для нулей других L-функций разных порядков и кондукторов.

Одним из важных примеров, как для истории более общих L-функций, так и как ещё пока открытой исследовательской проблемы, является гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера. Гипотеза говорит, как можно вычислить ранг эллиптической кривой над полем рациональных чисел (или другим глобальным полем), то есть число свободных образующих его группы рациональных точек. Многие предыдущие работы в этой области стали объединяться вокруг лучшего знания L-функций. Это было похоже на пример парадигмы зарождающейся теории L-функций.

Это развитие предшествовало программе Ленглендса на несколько лет и может рассматриваться как дополняющее его: работа Ленглендса в основном связана с L-функциями Артина, и с L-функциям, присоединенным к общему автоморфному представлению.

Постепенно стало понятнее, в каком смысле конструкция дзета-функцию Хассе-Вейля может сделать рабочим обеспечение допустимых L -функций - в аналитическом смысле: должен быть некоторый вклад от анализа, что означало «автоморфный» анализ. Общий случай теперь объединяет на концептуальном уровне ряд различных исследовательских программ.

• Обобщённые гипотезы Римана
• Автоморфная L-функция
• Теорема о модулярности
• Гипотеза Артина