Гипотеза Рамануджана

Гипотеза Рамануджана — высказанное С. Рамануджаном предположение относительно величины коэффициентов Фурье ${\displaystyle \tau (n)}$ функции ${\displaystyle \Delta }$ (параболическая формы веса 12). Функция ${\displaystyle \Delta }$ есть собственная функция операторов Гекке, ${\displaystyle \tau (n)}$ — соответствующие собственные значения.

Рамануджан предположил, что они удовлетворяют неравенству:

${\displaystyle |\tau (p)|\leqslant 2p^{11/2},}$

где ${\displaystyle p}$ — простое.

При этом функцию ${\displaystyle \tau (n)}$ называют также функцией Рамануджана.

Ханс Петерсон обобщил гипотезу Рамануджана на случай собственных значений операторов Гекке модулярных форм веса ${\displaystyle k}$, где целое ${\displaystyle k\geqslant 2}$. Это так называемая гипотеза Петерсона.

Позднее Пьер Делинь свёл гипотезу Петерсона к гипотезе Вейля, которую впоследствии сам же доказал в 1974 году. Соответственно, этим была доказана и гипотеза, выдвинутая Рамануджаном.