Дзета-функция Дедекинда

Пусть ${\displaystyle K}$ — алгебраическое числовое поле, ${\displaystyle s}$ — комплексное число, тогда

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum \limits _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{s}}}}$

где ${\displaystyle I}$ пробегает все ненулевые идеалы кольца целых ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ поля ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }}$ — абсолютная норма идеала ${\displaystyle I}$ (которая равна индексу ${\displaystyle [{\mathcal {O}}_{K}\colon I]}$). Этот ряд сходится абсолютно для всех ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ с действительной частью ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$.

В общем случае дзета-функция Дедекинда определяется как

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum \limits _{\mathfrak {a}}{\frac {1}{N({\mathfrak {a}})^{s}}}}$

где ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ пробегает все целые дивизоры поля ${\displaystyle K}$, а ${\displaystyle N({\mathfrak {a}})}$ обозначает норму дивизора ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

Как и дзета-функция Римана, дзета-функция Дедекинда удовлетворяет некоторому функциональному уравнению, связывающему значения ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ и ${\displaystyle \zeta _{K}(1-s)}$. Конкретно, пусть ${\displaystyle D(K)}$ — дискриминант поля ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle r}$ — число действительных вложений, а ${\displaystyle t}$ — число пар комплексно-сопряжённых вложений поля ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Обозначим

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {C} }(s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)}$

где ${\displaystyle \Gamma (s)}$ — гамма-функция. Тогда функция

${\displaystyle \Lambda _{K}(s)=|D(K)|^{s/2}\Gamma _{\mathbf {R} }^{r}(s)\Gamma _{\mathbf {C} }^{t}(s)\zeta _{K}(s)}$

удовлетворяет функциональному уравнению

${\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s)}$

Как и дзета-функция Римана, значения дзета-функции Дедекинда заключают в себе (хотя бы гипотетически) важную арифметическую информацию о ${\displaystyle K}$.

Например, точка ${\displaystyle s=1}$ — простой полюс ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$, и для поля алгебраических чисел ${\displaystyle K}$ степени ${\displaystyle n=r+2t}$ (${\displaystyle r,t}$ определены выше) вычет в этой точке равен

${\displaystyle \lim \limits _{s\to 1+0}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r+t}\pi ^{t}R(K)}{w(K){\sqrt {|D(K)|}}}}h(K)}$

где ${\displaystyle h(K)}$ — число классов дивизоров, ${\displaystyle D(K)}$ — дискриминант поля, ${\displaystyle R(K)}$ - регулятор поля ${\displaystyle K}$, а ${\displaystyle w(K)}$ — число содержащихся в ${\displaystyle K}$ корней из 1 (порядок подгруппы кручения ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$). Вычет в этой точке дает аналитическую формулу для числа классов.

Другой пример — нуль ${\displaystyle s=0}$, порядок ${\displaystyle u}$ которого равен рангу группы единиц кольца ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. Предел в этой точке равен

${\displaystyle \lim \limits _{s\to 0}s^{-u}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)}}.}$

Это следует из функционального уравнения и соотношения ${\displaystyle u=r+t-1}$.

Из функционального уравнения и того, что ${\displaystyle \Gamma (-n)=\infty }$ для всех натуральных ${\displaystyle n}$ получаем, что ${\displaystyle \zeta _{K}(-2n)=0}$. ${\displaystyle \zeta _{K}(-2n-1)=0}$ для всех ${\displaystyle K}$, кроме случая, когда ${\displaystyle K}$ полностью действительно (т.е. когда ${\displaystyle t=0}$, т.е. когда ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}],d>0}$). В полностью действительном случае, Зигель показал, что ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ - ненулевое рациональное число для отрицательных нечетных ${\displaystyle s}$. Стивен Лихтенбаум предложил гипотезу о выражении специальных значений для этих рациональных чисел в терминах алгебраической K-теории поля ${\displaystyle K}$.

В случае, когда ${\displaystyle K}$ — абелево расширение ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, его дзета-функция Дедекинда ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ может быть представлена в виде произведений L-функций Дирихле. К примеру, если ${\displaystyle K}$ — квадратичное поле, то это означает, что

${\displaystyle {\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}=L(s,\chi )}$

где ${\displaystyle \chi }$ — это символ Якоби, используемый как характер Дирихле. Это соотношение является аналитической переформулировкой квадратичного закона взаимности Гаусса.

В общем случае, если ${\displaystyle K}$ — расширение Галуа поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ с группой Галуа ${\displaystyle G}$, то его дзета-функция Дедекинда является L-функцией Артина регулярного представления ${\displaystyle G}$, а значит разлагается в произведение L-функций Артина неприводимых представлений Артина ${\displaystyle G}$.

Связь с L-функциями Артина показывает, что если ${\displaystyle L/K}$ — расширение Галуа, то ${\displaystyle {\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)}}}$ является голоморфной (${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ "делит" ${\displaystyle \zeta _{L}(s)}$). В случае произвольного расширения аналогичное утверждение следует из гипотезу Артина для L-функций

Кроме того, ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ является дзета-функцией Хассе-Вейля для ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}$ и мотивной L-функцией мотива, приходящего из когомологии ${\displaystyle \operatorname {Spec} K}$.

Расширенная гипотеза Римана (РГР) утверждает, что для любого алгебраического числового поля ${\displaystyle K}$ если ${\displaystyle s}$ — комплексный корень уравнения ${\displaystyle \zeta _{K}(s)=0}$, лежащий в так называемой критической полосе ${\displaystyle 0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1}$, то его действительная часть ${\displaystyle \operatorname {Re} s={\frac {1}{2}}}$.

Обычная гипотеза Римана получается из расширенной для ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,{\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z} }$.

Из РГР следует эффективная версия[6] теоремы Чеботарёва о плотности: если ${\displaystyle L/K}$ - конечное расширение Галуа с группой Галуа ${\displaystyle G}$, и ${\displaystyle C}$ - множество сопряженных классов ${\displaystyle G}$, число неразветвленных простых чисел в ${\displaystyle K}$ с нормой, не превосходящей ${\displaystyle x}$ с классом сопряженности Фробениуса в ${\displaystyle C}$ растет как

${\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\ln x+\ln |D(K)|){\bigr )}{\Bigr )}$

причем константа в ${\displaystyle O}$ абсолютна, ${\displaystyle n}$ - степень расширения ${\displaystyle L}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, а ${\displaystyle D(K)}$ - дискриминант.

• Дж.Бернштайн, Ст.Гелбарт. Введение в программу Ленглендса. — Москва - Ижевск, 2008.
• З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. — М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
• Дж.Касселс, А.Фрёлих. Алгебраическая теория чисел. — М.:Мир, 1969.