Дзета-функция Дедекинда

Дзета-функция Дедекинда — это дзета-функция алгебраического числового поля , являющаяся обобщением дзета-функции Римана.

Определение и основные свойства

Пусть — алгебраическое числовое поле, — комплексное число, тогда

где пробегает все ненулевые идеалы кольца целых поля , абсолютная норма идеала (которая равна индексу ). Этот ряд сходится абсолютно для всех с действительной частью .

В общем случае дзета-функция Дедекинда определяется как

где пробегает все целые дивизоры поля , а обозначает норму дивизора .

Свойства

  • Если — поле рациональных чисел, то - дзета-функции Римана.

Эйлерово произведение

Дзета-функция Дедекинда разлагается в эйлерово произведение по всем простым идеалам кольца

при .

Эта формула выражает единственность разложения идеала в произведение простых идеалов в дедекиндовом кольце . При это произведение ненулевых множителей абсолютно сходится к , откуда следует, что в этой области .

Аналитическое продолжение

имеет аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, которое является мероморфной функцией, имеющей простой полюс в точке .

Функциональное уравнение

Как и дзета-функция Римана, дзета-функция Дедекинда удовлетворяет некоторому функциональному уравнению, связывающему значения и . Конкретно, пусть — дискриминант поля , — число действительных вложений, а — число пар комплексно-сопряжённых вложений поля в . Обозначим

где гамма-функция. Тогда функция

удовлетворяет функциональному уравнению

Связь с характеристиками поля

Как и дзета-функция Римана, значения дзета-функции Дедекинда заключают в себе (хотя бы гипотетически) важную арифметическую информацию о .

Например, точка — простой полюс , и для поля алгебраических чисел степени ( определены выше) вычет в этой точке равен

где — число классов дивизоров, дискриминант поля, - регулятор поля , а — число содержащихся в корней из 1 (порядок подгруппы кручения ). Вычет в этой точке дает аналитическую формулу для числа классов.

Другой пример — нуль , порядок которого равен рангу группы единиц кольца . Предел в этой точке равен

Это следует из функционального уравнения и соотношения .

Из функционального уравнения и того, что для всех натуральных получаем, что . для всех , кроме случая, когда полностью действительно (т.е. когда , т.е. когда или ). В полностью действительном случае, Зигель показал, что - ненулевое рациональное число для отрицательных нечетных . Стивен Лихтенбаум предложил гипотезу о выражении специальных значений для этих рациональных чисел в терминах алгебраической K-теории поля .

Связь с дзета- и L-функциями

В случае, когда абелево расширение , его дзета-функция Дедекинда может быть представлена в виде произведений L-функций Дирихле. К примеру, если квадратичное поле, то это означает, что

где — это символ Якоби, используемый как характер Дирихле. Это соотношение является аналитической переформулировкой квадратичного закона взаимности Гаусса.

В общем случае, если расширение Галуа поля с группой Галуа , то его дзета-функция Дедекинда является L-функцией Артина регулярного представления , а значит разлагается в произведение L-функций Артина неприводимых представлений Артина .

Связь с L-функциями Артина показывает, что если — расширение Галуа, то является голоморфной ( "делит" ). В случае произвольного расширения аналогичное утверждение следует из гипотезу Артина для L-функций

Кроме того, является дзета-функцией Хассе-Вейля для и мотивной L-функцией мотива, приходящего из когомологии .

Расширенная гипотеза Римана

Расширенная гипотеза Римана (РГР) утверждает, что для любого алгебраического числового поля если — комплексный корень уравнения , лежащий в так называемой критической полосе , то его действительная часть .

Обычная гипотеза Римана получается из расширенной для .

Из РГР следует эффективная версия[6] теоремы Чеботарёва о плотности: если - конечное расширение Галуа с группой Галуа , и - множество сопряженных классов , число неразветвленных простых чисел в с нормой, не превосходящей с классом сопряженности Фробениуса в растет как

причем константа в абсолютна, - степень расширения над , а - дискриминант.

Литература

  • Дж.Бернштайн, Ст.Гелбарт. Введение в программу Ленглендса. — Москва - Ижевск, 2008.
  • З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. — М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
  • Дж.Касселс, А.Фрёлих. Алгебраическая теория чисел. — М.:Мир, 1969.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.