Теория случайных матриц

Теория случайных матриц — направление исследований на стыке математической физики и теории вероятностей, в рамках которого изучаются свойства ансамблей матриц, элементы которых распределены случайным образом. Как правило, задаётся закон распределения элементов. При этом изучается статистика собственных значений случайных матриц, а иногда также статистика их собственных векторов.

Теория случайных матриц имеет множество применений в физике, в особенности в приложениях квантовой механики к изучению неупорядоченных и классически хаотических динамических систем. Дело в том, что гамильтониан хаотической системы нередко можно представлять себе как случайную эрмитову или симметричную вещественную матрицу, при этом уровни энергии этого гамильтониана будут представлять собой собственные значения случайной матрицы.

Впервые теория случайных матриц была применена Вигнером в 1950 году для описания уровней энергии атомного ядра. Впоследствии оказалось, что теорией случайных матриц описывается множество систем, включая, например, уровни энергии квантовых точек, уровни энергии частиц в потенциалах сложной формы. Как оказалось, теория случайных матриц применима практически к любой квантовой системе, классический аналог которой не является интегрируемым. При этом наблюдаются существенные отличия в распределении уровней энергии: распределение уровней энергии в интегрируемой системе, как правило, близко к распределению Пуассона, в то время как для неинтегрируемой системы оно имеет другой вид, характерный для случайных матриц (см. ниже).

Теория случайных матриц оказалась полезной и для, казалось бы, посторонних разделов математики, в частности, распределение нулей дзета-функции Римана на критической прямой можно описать с помощью некоторого ансамбля случайных матриц[1].