Распределение Пуассона

Выберем фиксированное число ${\displaystyle \lambda >0}$ и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

${\displaystyle p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }}$,

где

• ${\displaystyle k}$ — количество событий,
• ${\displaystyle \lambda }$ — математическое ожидание случайной величины (среднее количество событий за фиксированный промежуток времени),
• ${\displaystyle k!}$ обозначает факториал числа ${\displaystyle k}$,
• ${\displaystyle e=2{,}718281828\ldots }$ — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина ${\displaystyle Y}$ имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием ${\displaystyle \lambda }$, записывается: ${\displaystyle Y\sim ~\mathrm {P} (\lambda )}$.

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

${\displaystyle E_{Y}(t)=e^{\lambda \left(e^{t}-1\right)}}$,

откуда

${\displaystyle \mathbb {M} [Y]=\lambda }$,

${\displaystyle \mathbb {D} [Y]=\lambda }$.

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

${\displaystyle \mathbb {M} Y^{[k]}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right\}}$,

где ${\displaystyle k=1,2,...}$ Фигурные же скобки обозначают Числа Стирлинга второго рода.

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {P} (\lambda _{i}),\;i=1,\ldots ,n}$. Тогда

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}\sim \mathrm {P} \left(\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)}$.

• Пусть ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {P} (\lambda _{i}),\;i=1,2}$, и ${\displaystyle Y=Y_{1}+Y_{2}}$. Тогда условное распределение ${\displaystyle Y_{1}}$ при условии, что ${\displaystyle Y=y}$, биномиально. Более точно:

${\displaystyle Y_{1}\mid Y=y\sim \mathrm {Bin} \left(y,{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}\right)}$.

• C увеличением ${\displaystyle \lambda }$ распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса со среднеквадратичным отклонением ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\lambda }}}$ и сдвигом ${\displaystyle \lambda }$. Чтобы доказать это, нужно применить формулу Стирлинга для факториала, а затем воспользоваться разложением в ряд Тейлора ${\displaystyle \ln(\lambda /k)^{k}}$ в окрестности ${\displaystyle k=\lambda }$ и тем, что в пределах пика распределения ${\displaystyle {\sqrt {k}}\approx {\sqrt {\lambda }}}$. Тогда получается

${\displaystyle p(k)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi \lambda }}}\exp \left(-{\frac {(k-\lambda )^{2}}{2\lambda }}\right)}$

Довольно часто в теории вероятностей рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$, принимающих целочисленные значения, такую что для всякого ${\displaystyle k}$ выполнено ${\displaystyle P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$.

Простейшим примером является случай, когда ${\displaystyle \xi _{n}}$ имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха ${\displaystyle {\frac {\lambda }{n}}}$ в каждом из ${\displaystyle n}$ испытаний.

Работа Симеона Дени Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах»[2], в которой было введено данное распределение, была опубликована в 1837 году[3]. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счётчика радиоактивного излучения, количество забиваемых футбольной командой голов и др.[4]

• Биномиальное распределение
• Обобщенное распределение Пуассона на локально компактной абелевой группе

• Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — 480 с. — ISBN 978-5-406-00565-1. — С. 135.
• Винс, Ральф. Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров = The mathematics of money management risk analysis techniques for traders. — М.: Альпина Паблишер, 2012. — 400 с. — ISBN 978-5-9614-1894-1.
• Пуассон С. Д. Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах = Poisson S.-D. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. — Berlin: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. — 330 p. — ISBN 978-3-942944-29-8. [Poisson.pdf] (неопр.). Архивировано 1 ноября 2014 года.
• Guerriero V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics. — Journal of Modern Mathematics Frontier, 2012, 1. — P. 21—28. Архивная копия от 21 февраля 2018 на Wayback Machine

• Распределение Пуассона — онлайн-калькулятор