Распределение Трейси — Видома

Распределение Трейси — Видома определяется как предел[12]

${\displaystyle F_{\beta }(s)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\rm {Prob}}\left((\lambda _{\rm {max}}-{\sqrt {2n}})({\sqrt {2}})n^{1/6}\leq s\right){\mbox{,}}}$

где ${\displaystyle \lambda _{\rm {max}}}$ — наибольшее собственное число случайной матрицы ${\displaystyle n\times n}$ стандартного (для компонентов матрицы ${\displaystyle \sigma =1/{\sqrt {2}}}$) гауссова ансамбля: при β=1 — ортогонального, при β=2 — унитарного, при β=4 — симплектического. Сдвиг ${\displaystyle {\sqrt {2n}}}$ используется, чтобы центрировать распределение в точке 0. Множитель ${\displaystyle ({\sqrt {2}})n^{1/6}}$ используется, поскольку стандартное отклонение распределения масштабируется как ${\displaystyle n^{-1/6}}$.

Кумулятивная функция распределения Трейси — Видома для унитарных ансамблей (${\displaystyle \beta =2}$) может быть представлена как фредгольмов определитель

${\displaystyle F_{2}(s)=\det(I-A_{s})}$

оператора ${\displaystyle A_{s}}$ на интегрируемой с квадратом функции на луче ${\displaystyle (s,\infty )}$ ядром в понятиях функций Эйри ${\displaystyle \mathrm {Ai} }$ через

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{x-y}}.}$

Также её можно представить интегралом

${\displaystyle F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(x-s)q^{2}(x)\,dx\right)}$

через решение уравнения Пенлеве II

${\displaystyle q^{\prime \prime }(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}}$

где ${\displaystyle q}$, называемое решением Гастингса—Мак-Леода, удовлетворяет граничным условиям:

${\displaystyle \displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .}$

Распределения Трейси — Видома ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{4}}$ для ортогональных (${\displaystyle \beta =1}$) и симплектических (${\displaystyle \beta =4}$) ансамблей также выразимы через трансцендент Пенлеве ${\displaystyle q}$[13]:

${\displaystyle F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}}$

и

${\displaystyle F_{4}(s/{\sqrt {2}})=\mathrm {ch} \left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}.}$

Существует расширение этого определения на случаи ${\displaystyle F_{\beta }}$ при всех ${\displaystyle \beta >0}$[14].

Численные методы получения приближённых решений уравнений Пенлеве II и Пенлеве V и численно определённые распределения собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях впервые были представлены в 2005 году[15] (использовался MATLAB). Эти приближённые методы позднее были аналитически уточнены[16] и используются для получения численного анализа Пенлеве II и рапределений Трейси — Видома (для ${\displaystyle \beta =1,2,4}$) в S-PLUS. Эти распределения были табулированы[16] до четырёх значащих цифр по значениям аргумента с шагом 0.01; в работе также присутствовала статистическая таблица p-значений. В 2009 году[17] даны точные и быстрые алгоритмы численного определения ${\displaystyle F_{\beta }}$ и функций плотности ${\displaystyle \textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}}$ для ${\displaystyle \beta =1,2,4}$. По этим алгоритмам можно численно подсчитать среднее значение, дисперсию, асимметрию и эксцесс распределений ${\displaystyle F_{\beta }}$.

Функции для работы с законами Трейси — Видома также представлены в пакете для R RMTstat[18] и в пакете для MATLAB RMLab[19].

Вычислено также простое приближение на основе смещённых гамма-распределений[20].

• Доценко В. С. Универсальная случайность // УФН. — 2011. — Т. 181, № 3. — doi:10.3367/UFNr.0181.201103b.0269.
• Baik, J.; Deift, P. & Johansson, K. (1999), On the distribution of the length of the longest increasing subsequence of random permutations, Journal of the American Mathematical Society Т. 12 (4): 1119–1178, DOI 10.1090/S0894-0347-99-00307-0.
• Deift, P. (2007), Universality for mathematical and physical systems, International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006), European Mathematical Society, с. 125–152.
• Johansson, K. (2000), Shape fluctuations and random matrices, Communications in Mathematical Physics Т. 209 (2): 437–476, DOI 10.1007/s002200050027.
• Johansson, K. (2002), Toeplitz determinants, random growth and determinantal processes, Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002), vol. 3, Beijing: Higher Ed. Press, с. 53–62.
• Johnstone, I. M. (2007), High dimensional statistical inference and random matrices, International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006), European Mathematical Society, с. 307–333.
• Johnstone, I. M. (2008), Multivariate analysis and Jacobi ensembles: largest eigenvalue, Tracy–Widom limits and rates of convergence, Annals of Statistics Т. 36 (6): 2638–2716, PMID 20157626, DOI 10.1214/08-AOS605.
• Johnstone, I. M. (2009), Approximate null distribution of the largest root in multivariate analysis, Annals of Applied Statistics Т. 3 (4): 1616–1633, PMID 20526465, DOI 10.1214/08-AOAS220.
• Majumdar, Satya N. & Nechaev, Sergei (2005), Exact asymptotic results for the Bernoulli matching model of sequence alignment, Physical Review E Т. 72 (2): 020901, 4, DOI 10.1103/PhysRevE.72.020901.
• Patterson, N.; Price, A. L. & Reich, D. (2006), Population structure and eigenanalysis, PLoS Genetics Т. 2 (12): e190, PMID 17194218, DOI 10.1371/journal.pgen.0020190.
• Prähofer, M. & Spohn, H. (2000), Universal distributions for growing processes in 1+1 dimensions and random matrices, Physical Review Letters Т. 84 (21): 4882–4885, PMID 10990822, DOI 10.1103/PhysRevLett.84.4882.
• Takeuchi, K. A. & Sano, M. (2010), Universal fluctuations of growing interfaces: Evidence in turbulent liquid crystals, Physical Review Letters Т. 104 (23): 230601, PMID 20867221, DOI 10.1103/PhysRevLett.104.230601
• Takeuchi, K. A.; Sano, M.; Sasamoto, T. & Spohn, H. (2011), Growing interfaces uncover universal fluctuations behind scale invariance, Scientific Reports Т. 1: 34, DOI 10.1038/srep00034
• Tracy, C. A. & Widom, H. (1993), Level-spacing distributions and the Airy kernel, Physics Letters B Т. 305 (1—2): 115–118, DOI 10.1016/0370-2693(93)91114-3.
• Tracy, C. A. & Widom, H. (1994), Level-spacing distributions and the Airy kernel, Communications in Mathematical Physics Т. 159 (1): 151–174, DOI 10.1007/BF02100489.
• Tracy, C. A. & Widom, H. (2002), Distribution functions for largest eigenvalues and their applications, Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002), vol. 1, Beijing: Higher Ed. Press, с. 587–596.
• Tracy, C. A. & Widom, H. (2009), Asymptotics in ASEP with step initial condition, Communications in Mathematical Physics Т. 290 (1): 129–154, DOI 10.1007/s00220-009-0761-0.
• Bejan, Andrei Iu. (2005), Largest eigenvalues and sample covariance matrices. Tracy–Widom and Painleve II: Computational aspects and realization in S-Plus with applications, M.Sc. dissertation, Department of Statistics, The University of Warwick, <http://www.cl.cam.ac.uk/~aib29/TWinSplus.pdf>.
• Bornemann, F. (2010), On the numerical evaluation of distributions in random matrix theory: A review with an invitation to experimental mathematics, Markov Processes and Related Fields Т. 16 (4): 803–866.
• Chiani, M. (2012), Distribution of the largest eigenvalue for real Wishart and Gaussian random matrices and a simple approximation for the Tracy–Widom distribution.
• Edelman, A. & Persson, P.-O. (2005), Numerical Methods for Eigenvalue Distributions of Random Matrices.
• Ramírez, J. A.; Rider, B. & Virág, B. (2006), Beta ensembles, stochastic Airy spectrum, and a diffusion.

• Kuijlaars, Universality of distribution functions in random matrix theory, <http://web.mit.edu/sea06/agenda/talks/Kuijlaars.pdf>.
• Tracy, C. A. & Widom, H., The distributions of random matrix theory and their applications, <http://www.math.ucdavis.edu/~tracy/talks/SITE7.pdf>.
• Johnstone, Iain; Ma, Zongming; Perry, Patrick & Shahram, Morteza (2009), Package 'RMTstat', <http://cran.r-project.org/web/packages/RMTstat/RMTstat.pdf>.
• Quanta Magazine: At the Far Ends of a New Universal Law