Распределение Райса

Распределение Райса является обобщением распределения Рэлея. Введено американским учёным Стефаном Райсом.

Распределение Райса
Плотность распределения Райса для различных значений параметра ν   при σ = 1. Плотность распределения Райса для различных значений параметра ν   при σ = 0.25.Плотность вероятности
Функция распределения Райса для различных значений параметра ν   при σ = 1. Функция распределения Райса для различных значений параметра ν   при σ = 0.25.Функция распределения
Параметры	${\displaystyle \nu \geq 0}$ ${\displaystyle \sigma \geq 0}$
Носитель	x ∈ [0, +∞)
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)}$
Функция распределения	${\displaystyle 1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)}$ где Q1 - это Q-функция Маркума
Математическое ожидание	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$
Дисперсия	${\displaystyle 2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-{\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}L_{1/2}^{2}\left({\frac {-\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

Если ${\displaystyle {X}}$ и ${\displaystyle {Y}}$ — независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с одинаковыми дисперсиями ${\displaystyle {\sigma }^{2}}$ и ненулевыми математическими ожиданиями (в общем случае неравными), то величина ${\displaystyle Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ имеет распределение Райса, плотность вероятности которой определяется в виде

${\displaystyle f(x|\nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),}$

где I₀(z) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, ${\displaystyle \nu ={\sqrt {\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}}}}$, ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ — математические ожидания ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$.