Модифицированные функции Бесселя
Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.
Если в дифференциальном уравнении Бесселя
заменить на , оно примет вид
Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя .
Если не является целым числом, то функции Бесселя и являются двумя линейно независимыми решениями уравнения . Однако чаще используют функции
- и
Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если — вещественное число, а z неотрицательно, то эти функции принимают вещественные значения.
называется порядком функции.
Функция
также является решением уравнения . Её называют модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . Очевидно, что
и принимает вещественные значения, если — вещественное число, а положительно.
Функции целого порядка
Так как при целом в качестве фундаментальной системы решений уравнения выбирают и где
Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования
Модифицированные функции Бесселя первого рода
Модифицированные функции Бесселя второго рода
Интегральные представления
Модифицированные функции Бесселя второго рода
Асимптотическое поведение
Частный случай:
См. также
Литература
Примечания
- Ляхов Л.Н. О j-рядах Шлемильха. Научные ведомости. Серия "Математика. Физика". 2013. №12 (155). Вып. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/o-j-ryadah-shlemilha
- Дж.Н. Ватсон. Теория бесселевых функций. (Книга). Глава XIX. Ряды Шлемильха
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the First Kind (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the Second Kind (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.