Распределение Вейбулла

Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью ${\displaystyle f_{X}(x)}$, имеющей вид:

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right..}$

Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет распределение Вейбулла. Пишут: ${\displaystyle X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}$.

Если величину X принять за наработку до отказа, тогда получается распределение, в котором интенсивность отказов пропорциональна времени. Тогда:

• k < 1 показывает, что интенсивность отказов уменьшается со временем
• k = 1 показывает, что интенсивность отказов не меняется со временем
• k > 1 показывает, что интенсивность отказов увеличивается со временем

В материаловедении коэффициент k известен как модуль Вейбулла.

Производящая функция моментов логарифма случайной величины, имеющей распределение Вейбулла

${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right),}$

где Γ — это гамма-функция. Аналогично, Характеристическая функция логарифма X задаётся

${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$

Моменты случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющей распределение Вейбулла имеют вид

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}$, где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция,

откуда

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$.

Коэффициент асимметрии задаётся функцией

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

Коэффициент эксцесса

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}},}$

где ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$, так же может быть записан:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$

Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид:

${\displaystyle R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)}}={\frac {e^{-\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T}{\lambda }}\right)^{k}}}}}$

или

${\displaystyle R(t|T)=e^{-\left[\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}-\left({\frac {T}{\lambda }}\right)^{k}\right]}}$

Для 3-х параметрического:

${\displaystyle R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)}}={\frac {e^{-\left({\frac {T+t-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}}}$

Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё ${\displaystyle t}$ времени при условии, что он уже проработал ${\displaystyle T}$.

Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла[2] . Это график типа Q-Q выборочной функции распределения со специальными осями. Оси — ${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\hat {F}}(x)))}$ и ${\displaystyle \ln(x)}$ Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$

Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию.

Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя ${\displaystyle {\hat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}}$, где ${\displaystyle i}$ — это ранг точки данных, а ${\displaystyle n}$ — это общее количество точек.[3]

Распределение Вейбулла используется:

• В анализе выживаемости
• В надёжности и анализе отказов
• В электротехнике для представления перенапряжения, возникающего в электрических цепях
• В промышленной инженерии
• В теории экстремальных значений

Соответствие функции распределения Вейбулла выпавшей за один день годовой норме дождей

• В прогнозировании погоды
  • Для описания распределения скорости ветра как распределения, обычно совпадающего с распределением Вейбулла в ветроэнергетике
• В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемого сигналов, создаваемой некоторыми типами клаттеров
• В моделировании замирания сигнала в беспроводных коммуникациях
• В прогнозировании технологических изменений
• В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а также 90 % доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении.
• В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления
• Из-за доступности используется в электронных таблицах, когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга

• Обычное распределение Вейбулла заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• 3-параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности

${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}}$

где ${\displaystyle x\geq \theta }$ и f(x; k, λ, θ) = 0 при x < θ, где ${\displaystyle k>0}$ — коэффициент формы, ${\displaystyle \lambda >0}$ — коэффициент масштаба и ${\displaystyle \theta }$ — коэффициент сдвига распределения. Когда θ=0, оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла.

• 1-параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая ${\displaystyle \theta =0}$ и ${\displaystyle k=C=Constant}$:

${\displaystyle f(t)={\frac {C}{\lambda }}\left({\frac {t}{\lambda }}\right)^{C-1}e^{-\left({\frac {t}{\lambda }}\right)^{C}}}$

• Распределение Вейбулла может быть получено как функция от экспоненциального.

Если ${\displaystyle X}$ — экспоненциальное распределение ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ для параметра ${\displaystyle \lambda }$, то случайная величина ${\displaystyle Y=X^{1/k}~(k>0)}$ имеет распределение Вейбулла ${\displaystyle \operatorname {W} (\lambda ^{1/k},k)}$. Для доказательства рассмотрим функцию распределения ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X^{1/k}\leq y)=P(X\leq y^{k})=1-e^{-\lambda \cdot y^{k}}=1-e^{-(\lambda ^{1/k}\cdot y)^{k}},~y>0}$

Полученная функция — функция распределения для распределения Вейбулла.

• Метод обратного преобразования: если ${\displaystyle U\sim \mathrm {U} (0,1)}$, то

${\displaystyle \lambda \left(-\ln U\right)^{1/k}\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}$.

• С распределением Фреше: если ${\displaystyle \mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =m)}$ , то ${\displaystyle {\tfrac {m^{2}}{\mathrm {X} }}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)}$.
• С распределением Гумбеля: если ${\displaystyle \mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}}$ , то ${\displaystyle \log(X)\sim {\textrm {Gumbel}}}$.
• Распределение Рэлея — частный случай распределения Вейбулла при ${\displaystyle k=2}$ и ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma }$[4]
• Распределение Вейбулла является частным случаем обобщённого распределения экстремальных значений[5]
• Впервые распределение Вейбулла было применено для описания распределения размера частиц. Широко использовалось в обогащении полезных ископаемых при измельчении. В этом контексте

функция распределения имеет вид

${\displaystyle f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{ln\left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

где

${\displaystyle x}$: Размер частицы

${\displaystyle P_{\rm {80}}}$: 80-й процентиль распределения размера частиц

${\displaystyle m}$: Коэффициент, описывающий размах распределения

• Fréchet, Maurice (1927), Sur la loi de probabilité de l'écart maximum, Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Cracovie Т. 6: 93–116.
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel & Balakrishnan, N. (1994), Continuous univariate distributions. Vol. 1 (2nd ed.), Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7
• Muraleedharan, G.; Rao, A.D.; Kurup, P.G. & Nair, N. Unnikrishnan (2007), Modified Weibull Distribution for Maximum and Significant Wave Height Simulation and Prediction, Coastal Engineering Т. 54 (8): 630–638, DOI 10.1016/j.coastaleng.2007.05.001
• Muraleedharan, G. & Soares, C.G. (2014), Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Pareto (GP3) and Weibull Distributions, Journal of Scientific Research and Reports Т. 3 (14): 1861–1874, DOI 10.9734/JSRR/2014/10087.
• Rosin, P. & Rammler, E. (1933), The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal, Journal of the Institute of Fuel Т. 7: 29–36.
• Sagias, Nikos C. & Karagiannidis, George K. (2005), Gaussian class multivariate Weibull distributions: theory and applications in fading channels, Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Information Theory Т. 51 (10): 3608–3619, ISSN 0018-9448, doi:10.1109/TIT.2005.855598, <http://pelopas.uop.gr/~nsagias/Files/Papers/Journals/2005/J4_2005.pdf> (недоступная ссылка)
• Weibull, W. (1951), A statistical distribution function of wide applicability, J. Appl. Mech.-Trans. ASME Т. 18 (3): 293–297, <http://www.barringer1.com/wa_files/Weibull-ASME-Paper-1951.pdf>.
• Engineering statistics handbook (неопр.). National Institute of Standards and Technology (2008).
• Nelson, Jr, Ralph Dispersing Powders in Liquids, Part 1, Chap 6: Particle Volume Distribution (неопр.) (5 февраля 2008). Дата обращения: 5 февраля 2008. Архивировано 13 февраля 2008 года.
• Левин Б.Р. Справочник по надежности. — Справочник по надежности/Под ред. Левина Б.Р., в 3 томах, Т.1. М.: Мир, 1969 г., 339 с.. — М.: Мир, 1969. — С. 176. — 339 с.
• J. Cheng, C. Tellambura, and N. C. Beaulieu Performance analysis of digital modulations on Weibull fading channels / Proc. IEEE Veh. Technol. Conf. 2004.

• Примеры графиков функции распределения Вейбулла (англ.)
• Распределение Вейбулла (англ.)
• График Вейбулла (англ.)
• Построение графиков распределения Вейбулла в excel (рус.)