Анализ выживаемости

При фиксированном цензурировании выборка из ${\displaystyle n}$ объектов наблюдается в течение фиксированного времени. Число объектов, для которых наступает терминальное событие, или число смертей, случайно, но общая продолжительность исследования фиксированна. Каждый объект имеет максимально возможный период наблюдения ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, который может варьироваться от одного объекта к другому, однако фиксирован заранее. Вероятность того, что объект ${\displaystyle i}$ будет жив в конце своего периода наблюдения, равна ${\displaystyle S(i)}$, а общее число смертей является случайным.

При случайном цензурировании выборка из ${\displaystyle n}$ объектов наблюдается так долго, сколько необходимо, чтобы ${\displaystyle d}$ объектов испытали событие. В этой схеме число смертей ${\displaystyle d}$, которое определяет точность исследования, фиксировано заранее, и его можно использовать в качестве параметра. Недостатком данного подхода является то, что в этом случае общая продолжительность исследования случайна и не может быть точно известна заранее.

При цензурировании можно указать направление, в котором производится цензурирование.

Цензурирование справа имеет место, если исследователь знает, в какой момент эксперимент был начат и что он закончится в момент времени, расположенный справа от точки начала эксперимента.

Если исследователь не имеет информации о том, когда эксперимент был начат (так, например, в биомедицинских исследованиях может быть известно, когда пациент поступил в госпиталь и что он выжил в течение определенного времени, однако при этом может отсутствовать информация, когда симптомы его заболевания впервые проявились), то имеет место левое цензурирование.

Однократное цензурирование происходит в один момент времени (эксперимент заканчивается спустя некоторое фиксированное время). С другой стороны, в биомедицинских исследованиях естественным образом возникает многократное цензурирование, например, когда пациенты выписываются из госпиталя, пройдя курс лечения в различных объёмах (или разной продолжительности), и исследователь знает, только что пациент дожил до соответствующего момента цензурирования.

Анализируемый объект в функции выживания традиционно условно обозначается как ${\displaystyle S}$; он описывается следующей функцией:

${\displaystyle S(t)=\mathbb {P} (T>t),}$

где ${\displaystyle t}$ — это некоторое время, в ходе которого проводилось наблюдение за совокупностью, ${\displaystyle T}$ является случайной величиной, обозначающей момент «смерти» (покидания объектом совокупности), и ${\displaystyle \mathbb {P} }$ означает вероятность «смерти» в заданном временном интервале. То есть функция выживаемости описывает вероятность «смерти» некоторое время спустя после момента ${\displaystyle t}$.

Обычно предполагается, что ${\displaystyle S(0)=1}$, хотя это значение может быть и меньше, чем 1, если есть возможность немедленной смерти или неудачи.

Если ${\displaystyle u\geq t}$, то функция выживания должна иметь вид ${\displaystyle S(u)\leq S(t)}$. Это свойство вытекает из того, что условие ${\displaystyle T>u}$ подразумевает, что ${\displaystyle T>t}$. По сути, здесь подразумевается, что выживание для более позднего периода возможно только после выживания в ходе более раннего периода.

Обычно предполагается, что функция выживания стремится к нулю при бесконечном возрастании переменной времени: ${\displaystyle S(t)\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$.

Также при анализе выживаемости используют кумулятивную функцию распределения ${\displaystyle F(t)}$ и её производную — функцию плотности распределения ${\displaystyle f(t)}$.

Кумулятивная функция распределения имеет вид

${\displaystyle F(t)=\mathbb {P} (T\leq t)=1-S(t)}$

и описывает вероятность того, что терминальное событие наступило к моменту времени ${\displaystyle t}$.

Функция плотности распределения (ФПР) имеет вид

${\displaystyle f(t)=F'(t)={\frac {\mathrm {d} F(t)}{\mathrm {d} t}}.}$

данная функция показывает частоту наступления терминального события в момент времени ${\displaystyle t}$.

Это оценка вероятности выбывания из совокупности («смерти») в соответствующем интервале, определяемая таким образом:

${\displaystyle F_{i}={\frac {P_{i}-P_{i+1}}{h_{i}}},}$

где ${\displaystyle F_{i}}$ — оценка вероятности отказа в ${\displaystyle i}$-м интервале, ${\displaystyle P_{i}}$ — кумулятивная доля выживших объектов (функция выживания) к началу ${\displaystyle i}$-го интервала, ${\displaystyle h_{i}}$ — ширина ${\displaystyle i}$-го интервала.

Функция риска определяется как вероятность того, что элемент, оставшийся в совокупности к началу соответствующего интервала, покинет совокупность («умрёт») в течение этого интервала. Оценка функции интенсивности вычисляется следующим образом:

${\displaystyle \lambda (t)\,\mathrm {d} t=\lim \limits _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbb {P} (t<T\leq t+\Delta t\mid T>t)}{\Delta t}}}$

Числитель данного выражения — условная вероятность того, что событие произойдёт в интервале ${\displaystyle (t;t+\Delta t)}$, если оно не произошло ранее, а знаменатель — ширина интервала.

Это точка на временной оси, в которой кумулятивная функция выживания равна 0,5. Другие процентили (например, 25- и 75-процентиль или квартили) кумулятивной функции выживания вычисляются по такому же принципу.

В общем случае таблица времён жизни даёт хорошее представление о распределении отказов или смертей объектов во времени. Однако для прогноза часто необходимо знать форму рассматриваемой функции выживания.

В рамках анализа выживаемости для построения моделей наиболее часто используются следующие семейства распределений:

• Экспоненциальное распределение;
• Распределение Вейбулла;
• Распределение Гомпертца.

Для цензурированных, но несгруппированных наблюдений времён жизни функцию выживания можно оценить непосредственно (без таблицы времени жизни). Допустим, существует база данных, в которой каждое наблюдение содержит точно один временной интервал. Перемножая вероятности выживания в каждом интервале, получим следующую формулу для функции выживания:

${\displaystyle S(t)=\prod \limits _{j=1}^{t}\left({\frac {n-j}{n-j+1}}\right)^{\sigma (j)}}$

В этом выражении ${\displaystyle S(t)}$ — оценка функции выживания, ${\displaystyle n}$ — общее число событий (времён окончания), ${\displaystyle j}$ — порядковый (хронологически) номер отдельного события, ${\displaystyle \sigma (j)}$ равно 1, если ${\displaystyle j}$-е событие означает отказ (смерть), и 0, если ${\displaystyle j}$-е событие означает потерю наблюдения (цензурирование), ${\displaystyle \prod \limits _{j=1}^{t}}$ означает произведение по всем наблюдениям ${\displaystyle j}$, завершившимся к моменту ${\displaystyle t}$.

Данная оценка функции выживания, называемая множительной оценкой, впервые была предложена Капланом и Мейером (1958).