Метод обратного преобразования

Если функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$ строго возрастает на всей области определения, то она биективна, а следовательно имеет обратную функцию ${\displaystyle F^{-1}:[0,1]\to \mathbb {R} }$.

• Пусть ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]}$ — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
• Тогда ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, где ${\displaystyle X_{i}=F^{-1}(U_{i}),\;i=1,\ldots ,n}$, — выборка из интересующего нас распределения.

Пусть требуется сгенерировать выборку из экспоненциального распределения с параметром ${\displaystyle \lambda >0}$. Функция этого распределения ${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x}}$ строго возрастает, и её обратная функция имеет вид ${\displaystyle F^{-1}(x)=-{\frac {1}{\lambda }}\,\ln(1-x)}$. Таким образом, если ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения, то ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, где

${\displaystyle X_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U_{i}),\;i=1,\ldots ,n}$

— искомая выборка из экспоненциального распределения.

Если функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$ лишь не убывает, то её обратная функция может не существовать. В таком случае необходимо модифицировать приведённый выше алгоритм.

• Пусть ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]}$ — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
• Тогда ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, где ${\displaystyle X_{i}=\inf\{x\mid F(x)=U_{i}\}=\min\{x\mid F(x)=U_{i}\},\;i=1,\ldots ,n}$, — выборка из интересующего нас распределения. Равенство точной нижней грани минимуму выполняется ввиду непрерывности функции распределения справа, что означает, что точная нижняя грань достигается.