Преобразование Бокса — Мюллера

Пусть ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \varphi \ }$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале ${\displaystyle (0,\;1]}$. Вычислим ${\displaystyle z_{0}}$ и ${\displaystyle z_{1}}$ по формулам

${\displaystyle z_{0}=\cos(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r}},}$

${\displaystyle z_{1}=\sin(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r}}.}$

Тогда ${\displaystyle z_{0}}$ и ${\displaystyle z_{1}}$ будут независимы и распределены нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. При реализации на компьютере обычно быстрее не вычислять обе тригонометрические функции — ${\displaystyle \cos(\cdot )}$ и ${\displaystyle \sin(\cdot )}$ — а рассчитать одну из них через другую. Ещё лучше воспользоваться вместо этого вторым вариантом преобразования Бокса — Мюллера.

Пусть ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на отрезке ${\displaystyle [-1,\;1]}$. Вычислим ${\displaystyle {s=x^{2}+y^{2}}}$. Если окажется, что ${\displaystyle {s>1}}$ или ${\displaystyle {s=0}}$, то значения ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следует «выбросить» и сгенерировать заново. Как только выполнится условие ${\displaystyle {0<s\leqslant 1}}$, по формулам

${\displaystyle z_{0}=x\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s}}}$

и

${\displaystyle z_{1}=y\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s}}}$

следует рассчитать ${\displaystyle z_{0}}$ и ${\displaystyle z_{1}}$, которые, как и в первом случае, будут независимыми величинами, удовлетворяющими стандартному нормальному распределению.

Коэффициент использования базовых случайных величин для первого варианта, очевидно, равен единице. Для второго варианта это отношение площади окружности единичного радиуса к площади квадрата со стороной два, то есть ${\displaystyle \pi /4\approx 0{,}785}$. Тем не менее, на практике второй вариант обычно оказывается быстрее, за счёт того, что в нём используется только одна трансцендентная функция, ${\displaystyle \ln(\cdot )}$. Это преимущество для большинства реализаций перевешивает необходимость генерации большего числа равномерно распределённых случайных величин.

После получения стандартной нормальной случайной величины ${\displaystyle z}$, можно легко перейти к величине ${\displaystyle \xi \sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ распределённой нормально с математическим ожиданием ${\displaystyle \mu }$ и стандартным отклонением ${\displaystyle \sigma }$ по формуле

${\displaystyle \xi =\mu +\sigma z.}$

Это уже не является частью преобразования Бокса — Мюллера, но позволяет завершить генерацию нормальной случайной величины.

• Алгоритм Зиккурат

• Преобразование равномерно распределенной случайной величины в нормально распределенную