Бета-распределение

Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Бета-распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Мода для
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Определение

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности , имеющей вид:

,

где

  • произвольные фиксированные параметры, и
  • бета-функция.

Тогда случайная величина имеет бета-распределение. Пишут: .

Форма графика

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров и .

  • — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
  • или — график строго убывающий (синяя кривая)
    • — график строго выпуклый;
    • — график является прямой линией;
    • — график строго вогнутый;
  • график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
  • или — график строго возрастающий (зелёная кривая);
    • — график строго выпуклый;
    • — график является прямой линией;
    • — график строго вогнутый;
  • — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда , плотность вероятности симметрична относительно (красная и пурпурная кривые), то есть

.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей бета-распределение, имеют вид:

,
.

Связь с другими распределениями

Примечания

Литература

  • Королюк В.С., Портенко Н.И.,Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985. — 640 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.