Бета-функция

В математике бета-функцией (-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

График бета-функции при вещественных аргументах

определённая при , .

Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром[когда?], а название ей дал Жак Бине.

Свойства

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

где  — Гамма-функция;

где  — нисходящий факториал, равный .

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению:

Производные

Частные производные у бета-функции следующие:

где  — дигамма-функция.

Неполная бета-функция

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку на интеграл с переменным верхним пределом:

При неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

Свойства

Примечания

    Литература

    Кузнецов Д. С. Специальные функции (1962) — 249 с.

    См. также

    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.