Бета-функция Дирихле

Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s:

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left[\zeta \left(s,{\tfrac {1}{4}}\right)-\zeta \left(s,{\tfrac {3}{4}}\right)\right]\;.}$

Бета-функция Дирихле также связана с трансцендентной функцией Лерха (англ. Lerch transcendent),

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right)\;.}$

Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s[2].

Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0),

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\tfrac {1}{2}}\pi s\right)\,\beta (1-s)\;,}$

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера.

Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя

${\displaystyle \beta (0)\;=\;{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;{\tfrac {1}{4}}\pi ,}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}$

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\tfrac {1}{32}}\pi ^{3},}$

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\tfrac {1}{768}}\left[\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right],}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\tfrac {5}{1536}}\pi ^{5},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\tfrac {61}{184320}}\pi ^{7},}$

${\displaystyle \beta (9)\;=\;{\tfrac {1385}{41287680}}\pi ^{9},}$

где G — постоянная Каталана, а ${\displaystyle {\textstyle {\psi _{3}({\frac {1}{4}})}}}$ — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).

В общем случае для любого положительного целого k

${\displaystyle \beta (2k)={\frac {1}{2^{4k}(2k-1)!}}\left[\psi _{2k-1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{2k-1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right],}$

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},}$

где ${\displaystyle \psi _{2k-1}(z)\equiv \psi ^{(2k-1)}(z)}$ — полигамма-функция порядка (2k-1), а E_2k — числа Эйлера[3].

Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем

${\displaystyle \beta (-2k)={\tfrac {1}{2}}E_{2k}\;,}$

${\displaystyle \beta (-2k-1)=0\;,}$

то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции)[2].

Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s) может быть вычислена аналитически[2],

${\displaystyle \beta ^{\prime }(-1)={\frac {2G}{\pi }}\;,}$

${\displaystyle \beta ^{\prime }(0)=\ln \left({\frac {\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{4}})}{2\pi {\sqrt {2}}}}\right)\;,}$

${\displaystyle \beta ^{\prime }(1)={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)\;,}$

(см. также OEIS A113847 и A078127).

Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы[2]

${\displaystyle \beta ^{\prime }(n)=-\sum _{k=1}^{\infty }\ln \left({\frac {(4k+1)^{1/(4k+1)^{n}}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^{n}}}}\right)\;.}$

• Дзета-функция Римана
• Постоянная Каталана
• Дзета-функция Гурвица

• J. Spanier & K. B. Oldham. An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
• Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.