Постоянная Каталана

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

${\displaystyle G=\beta (2).}$

Она также соответствует частному значению функции Клаузена, которая связана с мнимой частью дилогарифма

${\displaystyle G=\operatorname {Cl} _{2}(\pi /2)=\operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{2}(e^{i\pi /2})\right)=\operatorname {Im} {\big (}\operatorname {Li} _{2}(i){\big )}.}$

Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G,}$

${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G,}$

так что

${\displaystyle G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right].}$

Симон Плуфф нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией ${\displaystyle \psi _{1}}$, ${\displaystyle \pi ^{2}}$ и постоянной Каталана G.

Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:

${\displaystyle G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8}})G({\tfrac {7}{8}})}{G({\tfrac {1}{8}})G({\tfrac {5}{8}})}}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8}})}{\Gamma ({\tfrac {1}{8}})}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2(2-{\sqrt {2}})}}\right).}$

Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt,}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy,}$

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx,}$

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx.}$

Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x):

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx.}$

Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}}$

и

${\displaystyle G=}$	${\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-{}}$
	${\displaystyle {}-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right).}$

Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы[2] и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы[3]. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой[4][5].

Цепная дробь константы Каталана (последовательность A014538 в OEIS) выглядит следующим образом:

${\displaystyle G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9,3,1,1,1,1,1,1,\dots ]=}$

${\displaystyle =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots }}}}}}}}\;}$

Известны следующие обобщённые цепные дроби для константы Каталана:

${\displaystyle 2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2}}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ [6]

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов[7].

• Дзета-функция Римана
• Бета-функция Дирихле

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan’s constant
• Victor Adamchik. A certain series associated with Catalan's constant (англ.) // Zeitschr. f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA) : journal. — 2002. — Vol. 21, no. 3. — P. 1—10.
• Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan Архивная копия от 20 апреля 2009 на Wayback Machine, (1993)
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi² Архивная копия от 21 апреля 2009 на Wayback Machine, (1999)
• Weisstein, Eric W. Catalan's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions
• Greg Fee, Catalan’s Constant (Ramanujan’s Formula) (1996)
• David M. Bradley. A class of series acceleration formulae for Catalan's constant (англ.) // The Ramanujan Journal : journal. — 1999. — Vol. 3, no. 2. — P. 159—173. — doi:10.1023/A:1006945407723.
• David M. Bradley (2007), A class of series acceleration formulae for Catalan's constant, arΧiv:0706.0356