Тригамма-функция

Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.}$

С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{\rm {d}}x\;.}$

Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e^—t:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,{\rm {d}}t\;.}$

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению[2]

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,}$

а также формуле дополнения[2]

${\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}\;.}$

Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство[2]:

${\displaystyle \psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi _{1}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\;.}$

Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли:

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.}$

Ниже приведены частные значения тригамма-функции[1]:

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,}$

где G — постоянная Каталана, а ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}$ — функция Клаузена, связанная с мнимой частью дилогарифма через

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )=\mathrm {Im} \left[\mathrm {Li} _{2}\!\left(e^{\mathrm {i} \theta }\right)\right]\;.}$

Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)}$ с функцией Клаузена[3][4], получаем:

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4-{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4-{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;.}$

Для значений за пределами интервала ${\displaystyle 0<z\leq 1}$ можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше. Например[1],

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.}$

• Гамма-функция
• Дигамма-функция
• Полигамма-функция
• Постоянная Каталана
• Дзета-функция Гурвица

• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. раздел §6.4
• Eric W. Weisstein, Trigamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Polygamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com