Постоянная Глейшера — Кинкелина

Для целых положительных значений аргумента K-функция может быть представлена как

${\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}}$

Она связана с G-функцией Барнса, которая для целых положительных значений аргумента может быть представлена как

${\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}}$

где ${\displaystyle \Gamma (n)}$ — гамма-функция, ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$.

Постоянная Глейшера — Кинкелина A может быть определена как предел[5]

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}$

или, соответственно,

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}}$.

Также известно, что[6]

${\displaystyle G\left({\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1/24}\pi ^{-1/4}e^{1/8}A^{-3/2}}$.

Постоянная Глейшера — Кинкелина A связана с производной дзета-функции Римана при некоторых целых значениях аргумента[5][7], в частности,

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A}$

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(2)=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[\gamma +\ln(2\pi )-12\ln A\right]}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Постоянная Глейшера — Кинкелина появляется в некоторых определённых интегралах и бесконечных суммах[5],

${\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)\;{\rm {d}}x={\tfrac {3}{2}}\ln {A}+{\tfrac {5}{24}}\ln {2}+{\tfrac {1}{4}}\ln {\pi }}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\;{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln {A}}$,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln(2k+1)}{(2k+1)^{2}}}=\pi ^{2}\left({\tfrac {3}{2}}\ln {A}-{\tfrac {1}{6}}\ln {2}-{\tfrac {1}{8}}\ln {\pi }-{\tfrac {1}{8}}\gamma \right)}$.

Также эта постоянная может быть представлена в виде суммы[8][9], которая следует из представления для дзета-функции Римана, полученного Гельмутом Хассе,

${\displaystyle \ln {A}={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)}$,

где ${\displaystyle {\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}}$ — биномиальный коэффициент.

• Eric W. Weisstein. Glaisher–Kinkelin Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.