Константа де Брёйна — Ньюмана

Рассмотрим кси-функцию Римана:

${\displaystyle \Xi (iz)={\frac {1}{2}}(z^{2}-{\frac {1}{4}})\pi ^{-{\frac {z}{2}}-{\frac {1}{4}}}\Gamma ({\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{4}})\zeta (z+{\frac {1}{2}})}$.

Выражение ${\displaystyle {\frac {\Xi (z/2)}{8}}}$ может быть представлено в виде преобразования Фурье:

${\displaystyle \Phi (t)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9t}-3\pi n^{2}e^{5t})e^{-\pi n^{2}e^{4t}}}$

для ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \geq 0}$. Тогда обозначим преобразование Фурье ${\displaystyle \Phi (t)e^{\lambda t^{2}}}$ как ${\displaystyle H(\lambda ,z)}$:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\left[\Phi (t)e^{\lambda t^{2}}\right]=H(\lambda ,z)}$.

Константа определяется через нули функции H(λ, z). Она имеет вещественные нули тогда и только тогда, когда λ ≥ Λ. Константа тесно связана с гипотезой Римана относительно нулей дзета-функции Римана.

Де Брёйн показал[1] в 1950 году, что H имеет только вещественные нули при λ > 1/2, а кроме этого, что если H имеет только вещественные нули при некотором λ, то H также имеет только вещественные нули и при бо́льших значениях λ. Указанная де Брёйном верхняя граница Λ ≤ 1/2 не была доказана вплоть до 2008 года, когда Haseo Ki, Young-One Kim и Jungseob Lee доказали[2], что Λ < 1/2, сделав доказательство строгим[3].

В декабре 2018 года проектом Polymath верхняя граница константы Λ была улучшена до 0,22[4][5].

По состоянию на апрель 2020 года, лучшая верхняя граница константы Λ ≤ 0,2[6].

Серьёзные расчёты по нахождению нижней границы производились с 1988 года и продолжаются до сих пор (по состоянию на 2018 год):

Так как ${\displaystyle H(\lambda ,x)}$ является преобразованием Фурье ${\displaystyle F(e^{\lambda x}\Phi )}$, то H имеет представление Винера-Хопфа:

${\displaystyle \xi (1/2+iz)=A{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}}H(\lambda ,x)dx}$,

которое действует только для неотрицательных значений λ. В пределе λ стремится к 0, тогда ${\displaystyle H(0,x)=\xi (1/2+ix)}$ в случае, если λ отрицательна, H определяется следующим образом:

${\displaystyle H(\lambda ,z)=B{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}}\xi (1/2+ix)dx}$.

Здесь A и B — вещественные константы.

В январе 2018 года Брэд Роджерс и Теренс Тао опубликовали статью на arXiv.org, в которой они утверждают, что константа де Брейна-Ньюмана неотрицательна[10][11][5].