Постоянная Гаусса (математика)

Постоянная Гаусса(обозначение — G) — математическая константа определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от пары чисел, а именно, от единицы и квадратного корня из 2:

G={\frac {1}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)}}=0.8346268\dots

(последовательность A014549 в OEIS)

Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799[1] году обнаружил, что

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}

чтобы

G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)

где Β обозначает бета-функцию.

Связь с другими константами

Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе ${\frac {1}{4}}$ :

\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

В качестве альтернативы,

G={\frac {\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

а поскольку $\pi$ и $\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)$ алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.

Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.

Гаусс и другие используют[2][3] эквивалент

\varpi =\pi G

которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций.

Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа $A$ и $B$ называются константами лемнискаты, первая из которых

A={\frac {\pi G}{2}}={\frac {\varpi }{2}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)

и вторая константа:

B={\frac {1}{2G}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}}\right).

Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты. $A$ и $B$ Теодор Шнайдер доказал их трансцендентность в 1937 и 1941 годах соответственно.[4]

Формула, выражающая G через тета-функции Якоби, выглядит следующим образом:

G=\vartheta _{01}^{2}\left(e^{-\pi }\right)

Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий:

G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.

Константу также можно выразить бесконечным произведением

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).

Эта константа появляется при оценке интегралов

{\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x)}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)}}\,dx

G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}

Представление константы в виде непрерывной дроби:

G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5,2,1,1,2,2,6,9,1,1,1,3,1,\dots ].

(последовательность A053002 в OEIS)

Nielsen, Mikkel Slot. Undergraduate convexity : problems and solutions. — July 2016. — P. 162. — ISBN 9789813146211.
Kobayashi, Hiroyuki & Takeuchi, Shingo (2019), Applications of generalized trigonometric functions with two parameters
Asai, Tetsuya (2007), Elliptic Gauss Sums and Hecke L-values at s=1
Todd, John The lemniscate constants (неопр.). ACM DL (1975).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.