Константа Коморника — Лорети

Для действительного числа ${\displaystyle q>1}$ ряд

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n}}$

называется q-расширением или ${\displaystyle \beta }$ -расширение, положительного действительного числа x, если для всех ${\displaystyle n\geq 0}$, ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq \lfloor q\rfloor }$, где ${\displaystyle \lfloor q\rfloor }$ — целая функция, а ${\displaystyle a_{n}}$ не обязательно должно быть целым числом. Любое действительное число ${\displaystyle x}$ такое, что ${\displaystyle 0\leq x\leq q\lfloor q\rfloor /(q-1)}$ имеет такое расширение, которое можно найти с помощью жадного алгоритма.

Особый случай: ${\displaystyle x=1}$, ${\displaystyle a_{0}=0}$ и ${\displaystyle a_{n}=0}$ или ${\displaystyle 1}$ иногда называют q-разработкой. ${\displaystyle a_{n}=1}$ дает только 2-развертку. Однако почти для всех ${\displaystyle 1<q<2}$ существует бесконечное количество различных q-разработок. Ещё более удивительно то, что существуют исключительные ${\displaystyle q\in (1,2)}$, для которых существует только одна q-разработка. Кроме того, существует наименьшее число ${\displaystyle 1<q<2}$, известное как константа Коморника — Лорети, для которого существует уникальная q-развертка.[2]

Константа Коморника — Лорети — это значение q, такое что

${\displaystyle 1=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k}}}}$

где ${\displaystyle t_{k}}$ — последовательность Морса — Туэ, то есть ${\displaystyle t_{k}}$ — четность числа единиц в двоичном представлении ${\displaystyle k}$. Имеет приблизительную стоимость

${\displaystyle q=1.787231650\ldots .\,}$[3]

Константа ${\displaystyle q}$ также является единственным положительным вещественным корнем

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k}}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.}$

Эта константа трансцендентна.[4]

• Постоянная Эйлера — Маскерони
• Последовательность Рудина — Шапиро
• Слово Фибоначчи