Константа Эрдёша — Борвейна

Можно показать, что следующие суммы дают ту же самую константу:

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}}$,

${\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}}$,

${\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}}$,

${\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}}$,

где ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$ — мультипликативная функция делителей, равная числу положительных делителей числа ${\displaystyle n}$. Для доказательства эквивалентности этих формул используется тот факт, что все они представляют ряд Ламберта[2].

Эрдёш в 1948 году показал, что константа является иррациональным числом[3]. Позднее Борвейн представил альтернативное доказательство[4].

Несмотря на иррациональность, двоичное представление константы эффективно вычисляется: Кнут в издании «Искусства программирования» 1998 года заметил, что вычисление можно осуществить с использованием ряда Клаузена, который сходится очень быстро[5].

Константа Эрдёша — Борвейна возникает при анализе поведения алгоритма пирамидальной сортировки[6]

• Weisstein, Eric W. Erdos-Borwein Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.