Константа Миллса

Константа Миллса A — действительное число, одна из констант в теории чисел. Константа Миллса определяется как минимальное действительное число $A>1$ такое, что для всех целых положительных $n$ числа

P_{n}=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor ,

являются простыми, где $\lfloor \cdot \rfloor$ обозначает целую часть (округление вниз).

Неизвестно, является ли A рациональным числом[1].

Константа названа в честь Уильяма Миллса, доказавшего её существование в 1947 году[2] [3]. Точное значение этой константы неизвестно, однако, если предположить, что гипотеза Римана верна, то значение можно найти: A = 1,3063778838630806904686144926….[4]

Гипотеза Римана подразумевает через её следствие — гипотезу Линделёфа,^{[неоднозначно]} что существуют простые числа между кубами двух последовательных натуральных чисел.

Простые числа Миллса

Простые числа Миллса — это простые числа, найденные по указанной выше формуле при условии верности гипотезы Римана:[5]^{[неоднозначно]}

$n=1\;\;\;P_{n}=2$
$n=2\;\;\;P_{n}=11$
$n=3\;\;\;P_{n}=1\,361$
$n=4\;\;\;P_{n}=2\,521\,008\,887$
$n=5\;\;\;P_{n}=16\,022\,236\,204\,009\,818\,131\,831\,320\,183$
$n=6\;\;\;P_{n}=4\,113\,101\,149\,215\,104\,800\,030\,529\,537\,915\,953\,170\,486\,139\,623\,539\,759\,933\,135\,949\,994\,882\,770\,404\,074\,832\,568\,499$
$\ldots$ .

Есть и другой факт относительно этих чисел: если $P_{i}$ — i-е число в этой последовательности, то $P_{i}$ может быть найдено как наименьшее простое число, следующее за $P_{i-1}^{3}$ . Он может быть использован для получения оценочных неравенств на константу Миллса.

Численные вычисления

В 2005 году было высчитано более семи тысяч знаков A в предположении верности гипотезы Римана.[6]

Примечания

Finch, Steven R. (2003), Mills' Constant, Mathematical Constants, Cambridge University Press, с. 130–133, ISBN 0-521-81805-2, <ftp://s208.math.msu.su/469000/dbcd69f8d83a96354dd49d21572c6432> (недоступная ссылка).
Mills, W. H. (1947), A prime-representing function, Bulletin of the American Mathematical Society Т. 53 (6): 604, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08849-2, <http://www.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2/S0002-9904-1947-08849-2.pdf>.
http://www.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2/S0002-9904-1947-08849-2.pdf - доказательство существования константы Миллса
последовательность A051021 в OEIS
последовательность A051254 в OEIS
Caldwell, Chris K. & Cheng, Yuanyou (2005), Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem, Journal of Integer Sequences Т. 8 (5.4.1), <http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Caldwell/caldwell78.html>.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Mills' Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Who remembers the Mills number?, E. Kowalski.
Awesome Prime Number Constant, Numberphile.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Finch, Steven R. (2003), Mills' Constant, Mathematical Constants, Cambridge University Press, с. 130–133, ISBN 0-521-81805-2, <ftp://s208.math.msu.su/469000/dbcd69f8d83a96354dd49d21572c6432> (недоступная ссылка).

[2] Mills, W. H. (1947), A prime-representing function, Bulletin of the American Mathematical Society Т. 53 (6): 604, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08849-2, <http://www.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2/S0002-9904-1947-08849-2.pdf>.

[3] ttp://www.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2/S0002-9904-1947-08849-2.pdf - доказательство существования константы Миллса

[4] последовательность A051021 в OEIS

[5] последовательность A051254 в OEIS

[6] Caldwell, Chris K. & Cheng, Yuanyou (2005), Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem, Journal of Integer Sequences Т. 8 (5.4.1), <http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Caldwell/caldwell78.html>.