Константа Майсселя — Мертенса

Константа Майсселя — Мертенса — это математическая константа в теории чисел, определяемая как предел разности между гармоническим рядом, суммируемым только по простым числам, и натуральным логарифмом натурального логарифма:

${\displaystyle M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln n)\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right].}$

График гармонической суммы простых чисел для ${\displaystyle n=2^{15},2^{16},\ldots ,2^{46}\approx 7.04\times 10^{13}}$ и приближение Мертенса для неё. График имеет по оси y длину 8 см и представляет интервал (2.5, 3.8). Если бы ось n была представлена в линейной шкале, а не в логарифмической, то она была бы длиной ${\displaystyle 5.33(3)\times 10^{9}}$ км — размер Солнечной системы.

В пределе сумма обратных значений простых чисел, меньших n, и функция ln(ln n) отличаются на константу, константу Майсселя — Мертенса (помечена буквой M).

Здесь γ — постоянная Эйлера — Маскерони, которая имеет аналогичное определение для суммы по всем целым числам (не только по простым).

Константа названа именами Эрнста Майсселя и Франца Мертенса. Она упоминается также как константа Мертенса, константа Кронекера, константа Адамара — Валле-Пуссена или константа обратных значений простых чисел.

Значение M равно примерно

M ≈ 0,2614972128476427837554268386086958590516… (последовательность A077761 в OEIS).

Вторая теорема Мертенса устанавливает, что предел существует.

Факт, что имеется два логарифма (логарифм от логарифма) в пределе для константы Майсселя — Мертенса, можно рассматривать как следствие комбинации теоремы о распределении простых чисел и предела постоянной Эйлера — Маскерони.