Теорема Бруна

Сходимость суммы обратных к числам-близнецам следует из ограниченности плотности последовательности чисел-близнецов. Пусть ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ означает число простых ${\displaystyle p\leqslant x}$ чисел, для которых p + 2 тоже является простым (т.е. ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ является числом чисел-двойников, не превосходящих x). Тогда для ${\displaystyle x\geqslant 3}$ мы имеем

${\displaystyle \pi _{2}(x)=O\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right).}$

То есть числа-близнецы более редки по сравнению с простыми числами почти на логарифмический множитель. Из этого ограничения следует, что сумма обратных к числам-близнецам сходится, или, другими словами, числа-близнецы образуют маленькое множество. Сумма в явном виде

${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$

либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но сходится к значению, известному как константа Бруна.

Из факта, что сумма обратных значений простым числам расходится, вытекает, что существует бесконечно много простых чисел. Поскольку сумма обратных значений чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно заключить, что существует бесконечно много чисел-близнецов. Константа Бруна иррациональна только в случае бесконечного числа чисел-двойников.

При вычислении чисел-двойников вплоть до 10¹⁴ (и обнаружении по пути ошибки Pentium FDIV), Томас Р. Найсли эвристически оценил константу Бруна примерно равной 1,902160578[1]. Найсли расширил вычисления до 1,6⋅10¹⁵ к 18 января 2010, но это не было самое большое вычисление этого типа.

В 2002 Паскаль Себа и Патрик Демишель использовали все числа-двойники вплоть до 10¹⁶ и получили оценку[2]

B₂ ≈ 1,902160583104.

Оценка опирается на оценку суммы в 1,830484424658... для чисел-двойников, меньших 10¹⁶. Доминик Клайв показал (в неопубликованных тезисах), что B₂ < 2.1754 в предположении, что верна расширенная гипотеза Римана[3].

Существует также константа Бруна для квадруплетов близнецов. Квадруплет простых чисел — это пара двух простых двойников, разделённых расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Несколько квадруплетов — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для квадруплетов, обозначаемая B₄, является суммой обратных чисел ко всем квадруплетам:

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

И эта сумма равна

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, ошибка имеет уровень уверенности в 99 % (согласно Найсли)[4].

Эту константу не следует путать с константой Бруна для родственных простых чисел, пар простых чисел вида (p, p + 4), поскольку эта константа тоже записывается как B₄.

Пусть ${\displaystyle C_{2}=0,6601\ldots }$ (последовательность A005597 в OEIS) — константа простых-близнецов. Есть гипотеза, что

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

В частности,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и всех достаточно больших x.

Многие специальные случаи, упомянутые выше, были доказаны. Недавно Цзие У (Jie Wu) доказал, что для достаточно большого x,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<4,5{\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$,

где 4,5 соответствует случаю ${\displaystyle \varepsilon \approx 3,18}$ выше.

• Ряд обратных простых чисел
• Константа Майсселя — Мертенса

• Weisstein, Eric W. Brun's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Brun's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Brun's constant (англ.) на сайте PlanetMath.
• Sebah, Pascal and Xavier Gourdon, Introduction to twin primes and Brun's constant computation, 2002. A modern detailed examination.
• Wolf's article on Brun-type sums