Теорема Бруна

Теорема Бруна утверждает, что сумма чисел, обратных числам-близнецам (парам простых чисел, которые отличаются лишь на 2) сходится к конечному значению, известному как константа Бруна, которая обозначается как B2 (последовательность A065421 в OEIS). Теорему Бруна доказал Вигго Брун в 1919, и она имеет историческое значение для методов решета.

Сходимость к константе Бруна.

Асимптотические границы чисел-близнецов

Сходимость суммы обратных к числам-близнецам следует из ограниченности плотности последовательности чисел-близнецов. Пусть означает число простых чисел, для которых p + 2 тоже является простым (т.е. является числом чисел-двойников, не превосходящих x). Тогда для мы имеем

То есть числа-близнецы более редки по сравнению с простыми числами почти на логарифмический множитель. Из этого ограничения следует, что сумма обратных к числам-близнецам сходится, или, другими словами, числа-близнецы образуют маленькое множество. Сумма в явном виде

либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но сходится к значению, известному как константа Бруна.

Из факта, что сумма обратных значений простым числам расходится, вытекает, что существует бесконечно много простых чисел. Поскольку сумма обратных значений чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно заключить, что существует бесконечно много чисел-близнецов. Константа Бруна иррациональна только в случае бесконечного числа чисел-двойников.

Числовые оценки

При вычислении чисел-двойников вплоть до 1014 (и обнаружении по пути ошибки Pentium FDIV), Томас Р. Найсли эвристически оценил константу Бруна примерно равной 1,902160578[1]. Найсли расширил вычисления до 1,6⋅1015 к 18 января 2010, но это не было самое большое вычисление этого типа.

В 2002 Паскаль Себа и Патрик Демишель использовали все числа-двойники вплоть до 1016 и получили оценку[2]

B2 ≈ 1,902160583104.

Оценка опирается на оценку суммы в 1,830484424658... для чисел-двойников, меньших 1016. Доминик Клайв показал (в неопубликованных тезисах), что B2 < 2.1754 в предположении, что верна расширенная гипотеза Римана[3].

Существует также константа Бруна для квадруплетов близнецов. Квадруплет простых чисел — это пара двух простых двойников, разделённых расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Несколько квадруплетов — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для квадруплетов, обозначаемая B4, является суммой обратных чисел ко всем квадруплетам:

И эта сумма равна

B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, ошибка имеет уровень уверенности в 99 % (согласно Найсли)[4].

Эту константу не следует путать с константой Бруна для родственных простых чисел, пар простых чисел вида (p, p + 4), поскольку эта константа тоже записывается как B4.

Дальнейшие результаты

Пусть (последовательность A005597 в OEIS) — константа простых-близнецов. Есть гипотеза, что

В частности,

для любого и всех достаточно больших x.

Многие специальные случаи, упомянутые выше, были доказаны. Недавно Цзие У (Jie Wu) доказал, что для достаточно большого x,

,

где 4,5 соответствует случаю выше.

В популярной культуре

Цифры константы Бруна были использованы в заявке в $1.902.160.540 на патентном аукционе Nortel. Заявка была опубликована компанией Google и была одной из трёх заявок Google, основанных на математических константах[5].

См. также

Примечания

  1. Nicely, Thomas R. Enumeration to 1.6*10^15 of the twin primes and Brun's constant (недоступная ссылка). Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory) (18 января 2010). Дата обращения: 16 февраля 2010. Архивировано 8 декабря 2013 года.
  2. Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier Introduction to twin primes and Brun’s constant computation. Дата обращения: 5 января 2018.
  3. Klyve, Dominic Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant. Дата обращения: 13 мая 2015.
  4. Nicely, Thomas R. Enumeration to 1.6⋅1015 of the prime quadruplets (недоступная ссылка). Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory) (26 августа 2008). Дата обращения: 9 марта 2009. Архивировано 30 декабря 2008 года.
  5. Damouni, Nadia. Dealtalk: Google bid "pi" for Nortel patents and lost (недоступная ссылка). Reuters (1 июля 2011). Дата обращения: 6 июля 2011. Архивировано 3 июля 2011 года.

Литература

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.