Обратное число
Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число, умножение которого на x даёт единицу. Принятая запись: или . Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными. Обратное число не следует путать с обратной функцией. Например, отличается от значения функции, обратной косинусу — арккосинуса, который обозначается или .
Обратное к действительному числу
Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.
Число | Обратное | |
Дробь | Степень | |
То есть .
Примеры | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Число | ||||||||||
Обратное |
Не стоит путать термины «обратное число» и «противоположное число». Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Например, число, противоположное к 3, это −3, а обратное 1/3.
Обратное к нулю
В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.
Используя предельный переход, получаем:
- Правый предел: _ или _
- Левый предел: _ или _
Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−». Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также «равен» бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.
Но
Обратное к комплексному числу
Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.
Формы комплексного числа | Число | Обратное [1] |
Алгебраическая | ||
Тригонометрическая | ||
Показательная |
Обозначение и доказательство
Доказательство:
|
Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.
Пример:
Формы комплексного числа | Число | Обратное [1] |
Алгебраическая | ||
Тригонометрическая | или | или |
Показательная |
Обратное к мнимой единице
Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это .
Число | Равенство обратного и противоположного | |
Запись обратного через дробь | Запись обратного через степень | |
Доказательство Продемонстрируем доказательство для (для аналогично). |
Примечания
- Обратное к комплексному числу записывается в такой же форме, как и это число .
- Запись комплексного числа в тригонометрической форме с использованием конкретного значения косинуса и синуса аргумента: