Постоянная Голомба — Дикмана

Постоянная Голомба — Дикмана — математическая константа, возникающая в случайных перестановках и в теории чисел, равная[1]:

${\displaystyle \lambda =0{,}62432998854355087099293638310083724\dots }$.

Названа по именам Соломона Голомба и Карла Дикмана. Вычисляется из всех перестановок множества из ${\displaystyle n}$ элементов с использованием средней длины наиболее длинного цикла перестановки ${\displaystyle a_{n}}$:

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}}$.

С точки зрения теории вероятностей ${\displaystyle \lambda n}$ является асимптотой ожидания длины наиболее длинного цикла равномерно распределённых случайных перестановок множества из ${\displaystyle n}$ элементов.

В теории чисел постоянная возникает в связи со средним значением наибольшего простого делителя целого числа:

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {\log(P_{1}(k))}{\log(k)}}}$

где ${\displaystyle P_{1}(k)}$ — наибольший простой делитель числа ${\displaystyle k}$. Таким образом, если ${\displaystyle k}$ — ${\displaystyle d}$-значное десятичное целое, то ${\displaystyle \lambda d}$ является асимптотой среднего числа знаков в наибольшем простом делителе ${\displaystyle k}$.

Другой источник из теории чисел — вероятность того, что второй по величине простой делитель числа ${\displaystyle n}$ меньше квадратного корня из наибольшего простого делителя ${\displaystyle n}$, асимптотически равная ${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }\operatorname {prob} \left\{P_{2}(n)\leqslant {\sqrt {P_{1}(n)}}\right\}}$

где ${\displaystyle P_{2}(n)}$ — второй по величине простой делитель ${\displaystyle n}$.

Существует несколько интегральных представлений для ${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }e^{-t-\operatorname {Ei} _{1}(t)}dt}$, где ${\displaystyle \operatorname {Ei} _{1}(t)}$ — модифицированная интегральная показательная функция,

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}dt}$

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}dt}$, где ${\displaystyle \rho (t)}$ — это функция Дикмана.

Вопрос о рациональности или иррациональности постоянной открыт.