Функция Дикмана

Функция Дикмана — де Брёйна ${\displaystyle \rho (u)}$ — это непрерывная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению со сдвигом

${\displaystyle u\rho '(u)+\rho (u-1)=0}$

с начальными условиями ${\displaystyle \rho (u)=1}$ для 0 ≤ u ≤ 1.

Дикман, основываясь на эвристических соображениях, показал, что

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)}$

где ${\displaystyle \Psi (x,y)}$ — число y-гладких целых, меньших  x.

В. Рамасвами (V. Ramaswami) позднее дал строгое доказательство, что

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x)}$

в нотации О большое[4].

Основное приложение функция Дикмана-де Брёйна находит в оценке частоты появления гладких целых в заданных границах. Функция может быть использована для оптимизации различных теоретико-числовых алгоритмов, хотя и сама по себе она интересна.

Используя ${\displaystyle \log \rho }$, можно показать, что [5]

${\displaystyle \Psi (x,y)=xu^{O(-u)}}$,

что связано с оценкой ${\displaystyle \rho (u)\approx u^{-u}}$, приведенной ниже.

Постоянная Голомба — Дикмана имеет альтернативное определение в терминах функции Дикмана — де Брёйна.

Простым приближением может служить ${\displaystyle \rho (u)\approx u^{-u}.}$ Лучшую оценку даёт[6]

${\displaystyle \rho (u)\sim {\frac {1}{\xi {\sqrt {2\pi u}}}}\cdot \exp(-u\xi +\operatorname {Ei} (\xi ))}$,

где Ei — интегральная показательная функция, а ξ — положительный корень уравнения

${\displaystyle e^{\xi }-1=u\xi .}$

Простую верхнюю оценку дает ${\displaystyle \rho (x)\leq 1/x!.}$

${\displaystyle u}$	${\displaystyle \rho (u)}$
1	1
2	3.0685282⋅10-1
3	4.8608388⋅10-2
4	4.9109256⋅10-3
5	3.5472470⋅10-4
6	1.9649696⋅10-5
7	8.7456700⋅10-7
8	3.2320693⋅10-8
9	1.0162483⋅10-9
10	2.7701718⋅10-11

Для каждого интервала [n − 1, n] с целым n существует аналитическая функция ${\displaystyle \rho _{n}}$, такая, что ${\displaystyle \rho _{n}(u)=\rho (u)}$. Для 0 ≤ u ≤ 1, ${\displaystyle \rho (u)=1}$. Для 1 ≤ u ≤ 2, ${\displaystyle \rho (u)=1-\log u}$. Для 2 ≤ u ≤ 3,

${\displaystyle \rho (u)=1-(1-\log(u-1))\log(u)+\operatorname {Li} _{2}(1-u)+{\frac {\pi ^{2}}{12}}}$,

где Li₂ — дилогарифм. Остальные ${\displaystyle \rho _{n}}$ могут быть вычислены, используя бесконечные ряды[7].

Альтернативным методом вычисления может служить определение верхней и нижней границ методом трапеций[6][8].

Бах и Перальта определили двумерный аналог ${\displaystyle \sigma (u,v)}$ функции ${\displaystyle \rho (u)}$[7]. Эта функция используется для оценки функции ${\displaystyle \Psi (x,y,z)}$, аналогичной функции де Брёйна, но учитывающей число y-гладких целых чисел с хотя бы одним простым множителем, большим z. Тогда

${\displaystyle \Psi (x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma (b,a).}$

1. Dickman, K. On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude (англ.) // Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik : journal. — 1930. — Vol. 22A, no. 10. — P. 1—14.
2. de Bruijn, N. G. On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y (англ.) // Indagationes Mathematicae : journal. — 1951. — Vol. 13. — P. 50—60.
3. de Bruijn, N. G. On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y, II (англ.) // Indagationes Mathematicae : journal. — 1966. — Vol. 28. — P. 239—247.
4. Ramaswami, V. On the number of positive integers less than ${\displaystyle x}$ and free of prime divisors greater than x^c (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. — 1949. — Vol. 55. — P. 1122—1127.
5. Hildebrand, A.; Tenenbaum, G. Integers without large prime factors (неопр.) // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. — 1993. — Т. 5, № 2. — С. 411—484.
6. van de Lune, J.; Wattel, E. On the Numerical Solution of a Differential-Difference Equation Arising in Analytic Number Theory (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 1969. — Vol. 23, no. 106. — P. 417—421. — doi:10.1090/S0025-5718-1969-0247789-3.
7. Bach, Eric; Peralta, René. Asymptotic Semismoothness Probabilities (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 1996. — Vol. 65, no. 216. — P. 1701—1715. — doi:10.1090/S0025-5718-96-00775-2.
8. Marsaglia, George; Zaman, Arif; Marsaglia, John C. W. Numerical Solution of Some Classical Differential-Difference Equations (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 1989. — Vol. 53, no. 187. — P. 191—201. — doi:10.1090/S0025-5718-1989-0969490-3.

• Broadhurst, David (2010), Dickman polylogarithms and their constants, arΧiv:1004.0519

• Soundararajan, K. (2010), An asymptotic expansion related to the Dickman function, arΧiv:1005.3494

• Weisstein, Eric W. Dickman function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.