Логарифмическое распределение

Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle Y}$ задаётся функцией вероятности:

${\displaystyle p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}},\;k=1,2,3,\ldots }$,

где ${\displaystyle 0<p<1}$. Тогда говорят, что ${\displaystyle Y}$ имеет логарифмическое распределение с параметром ${\displaystyle p}$. Пишут: ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Log} (p)}$.

Функция распределения случайной величины ${\displaystyle Y}$ кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

${\displaystyle F_{Y}(y)=\left\{{\begin{matrix}0,&y<1&\\1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}},\;&y\in [k,k+1),\;&k=1,2,3,\ldots \end{matrix}}\right.,}$

где ${\displaystyle \mathrm {B} _{p}}$ — неполная бета-функция.

То, что функция ${\displaystyle p_{Y}(k)}$ действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

${\displaystyle \ln(1-p)=-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {p^{k}}{k}};0<p<1}$,

откуда

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }p_{Y}(k)=1}$.

Производящая функция моментов случайной величины ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Log} (p)}$ задаётся формулой

${\displaystyle M_{Y}(t)={\frac {\ln \left[1-pe^{t}\right]}{\ln[1-p]}}}$,

откуда

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=-{\frac {1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [Y]=-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}}$.

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$ последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Log} (p),\;i=1,2,\ldots }$. Пусть ${\displaystyle N\sim \mathrm {P} (\lambda )}$ — Пуассоновская случайная величина. Тогда

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {NB} }$.

Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе.