Квантиль

Рассмотрим вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )}$ и ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины ${\displaystyle X}$. Пусть фиксировано ${\displaystyle \alpha \in (0,\;1)}$. Тогда ${\displaystyle \alpha }$ — квантилем (или квантилем уровня ${\displaystyle \alpha }$) распределения ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ называется число ${\displaystyle x_{\alpha }\in \mathbb {R} }$, такое что

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leqslant x_{\alpha })\leqslant \alpha }$ ,

${\displaystyle \mathbb {P} (X\geqslant x_{\alpha })\geqslant 1-\alpha .}$

В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) ${\displaystyle k}$-м ${\displaystyle q}$-квантилем называется квантиль уровня ${\displaystyle k/q}$, то есть ${\displaystyle (k/q)}$ — квантиль в предыдущих обозначениях.

• Если распределение непрерывно, то ${\displaystyle \alpha }$-квантиль однозначно задаётся уравнением

${\displaystyle F_{X}(x_{\alpha })=\alpha ,}$

где ${\displaystyle F_{X}}$ — функция распределения ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$.

• Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(x_{\frac {1-\alpha }{2}}\leqslant X\leqslant x_{\frac {1+\alpha }{2}}\right)=\alpha .}$

• Для эмпирического распределения ${\displaystyle \alpha }$-квантиль можно задать следующим способом:

1. составляем вариационный ряд значений ${\displaystyle V_{0}\leqslant V_{1}\leqslant \dots \leqslant V_{N-1}}$ (выборка имеет объём ${\displaystyle N}$), а также считаем, что ${\displaystyle V_{N}=V_{N-1}}$ (это необходимо при вычислении 100% квантили по приводимым ниже формулам);
2. находим величину ${\displaystyle K=\lfloor \alpha \cdot (N-1)\rfloor }$;
3. сравниваем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \alpha \cdot N}$:

a) если ${\displaystyle K+1<\alpha N}$, то полагаем ${\displaystyle x_{\alpha }=V_{K+1}}$;

б) если ${\displaystyle K+1=\alpha N}$, то полагаем ${\displaystyle x_{\alpha }=(V_{K}+V_{K+1})/2}$;

в) если ${\displaystyle K+1>\alpha N}$, то полагаем ${\displaystyle x_{\alpha }=V_{K}}$.

Заданный таким образом ${\displaystyle \alpha }$-квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.

В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства ${\displaystyle K+1=\alpha N}$ можно использовать приближённое сравнение ${\displaystyle |K+1-\alpha N|<1/N}$ (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

Квантили нормального распределения

• 0,25-квантиль называется первым (или нижним) кварти́лем (от лат. quarta — четверть);
• 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым кварти́лем;
• 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) кварти́лем.

Интеркварти́льным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть ${\displaystyle x_{0{,}75}-x_{0{,}25}}$. Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

Деци́ль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение[2].

${\displaystyle p}$-м проценти́лем называют квантиль уровня ${\displaystyle \alpha =p/100}$. Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третий квартиль — 25-м и 75-м процентилями соответственно.

В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы, так же, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Процентили также называются перцентилями или центилями.

• Квантили нормального распределения
• Квантили распределения Стьюдента
• Квантили распределения хи-квадрат
• Нормальное распределение
• Доверительный интервал
• Наукометрия