Теория массового обслуживания

Поток заявок однороден, если:

• все заявки равноправны,
• рассматриваются только моменты времени поступления заявок, то есть факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.

Поток без последействия, если число событий любого интервала времени (${\displaystyle t}$, ${\displaystyle t+x}$) не зависит от числа событий на любом другом не пересекающемся с нашим (${\displaystyle t}$, ${\displaystyle t+x}$) интервале времени.

Поток заявок стационарен, если вероятность появления n событий на интервале времени (${\displaystyle t}$, ${\displaystyle t+x}$) не зависит от времени ${\displaystyle t}$, а зависит только от длины ${\displaystyle x}$ этого участка.

Однородный стационарный поток без последействий является простейшим, потоком Пуассона.

Число ${\displaystyle n}$ событий такого потока, выпадающих на интервал длины ${\displaystyle x}$, распределено по Закону Пуассона:

${\displaystyle P(n,x)={\frac {(\lambda x)^{n}e^{-\lambda x}}{n!}}.}$

Пуассоновский поток заявок удобен при решении задач ТМО. Строго говоря, простейшие потоки редки на практике, однако многие моделируемые потоки допустимо рассматривать как простейшие.

Cтационарный поток без последействий, для которого интервалы между событиями распределены по нормальному закону, называется нормальным потоком[5]: ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{t}}}\exp {-{\frac {1}{2}}\left({\frac {t-m_{t}}{\sigma _{t}}}\right)^{2}}}$.

Потоком Эрланга ${\displaystyle k}$-го порядка называется стационарный поток без последействий, у которого интервалы между событиями представляют собой сумму ${\displaystyle k+1}$ независимых случайных величин, распределенных одинаково по экспоненциальному закону с параметром ${\displaystyle \lambda }$[6]. При ${\displaystyle k=0}$ поток Эрланга является простейшим потоком.

Плотность распределения случайной величины T-интервала между двумя соседними событиями в потоке Эрланга ${\displaystyle k}$-го порядка равна: ${\displaystyle f_{k}(t)={\frac {\lambda (\lambda t)^{k}}{\Gamma (\alpha )}}\exp {-\beta t}}$, ${\displaystyle t>0,\alpha \geqslant 1}$.

Гамма-потоком называется стационарный поток без последействий, у которого интервалы между событиями представляют собой случайные величины, подчиненные гамма-распределению с параметрами ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$: ${\displaystyle f(t)={\frac {\beta ^{\alpha }t^{\alpha -1}}{k!}}\exp {-\lambda t}}$, ${\displaystyle t>0}$, где ${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\exp {-x}dx}$[7].

При ${\displaystyle \alpha =k+1}$ гамма-поток является потоком Эрланга ${\displaystyle k}$-го порядка.