Теорема Виноградова

Пусть A — положительное действительное число. Затем

${\displaystyle r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),}$

где

${\displaystyle r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3}),}$

используя функцию Мангольдта ${\displaystyle \Lambda }$, и

${\displaystyle G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right)\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right).}$

Если N нечётно, то G(N) примерно равно 1, следовательно ${\displaystyle N^{2}\ll r(N)}$, для всех достаточно больших N. Показывая, что вклад, вносимый в r(N) соответствующими главными силами, таков ${\displaystyle O\left(N^{3 \over 2}\log ^{2}N\right)}$, можно видеть, что

${\displaystyle N^{2}\log ^{-3}N\ll }$ (количество способов N может быть записано в виде суммы трёх простых чисел)

Это означает, в частности, что любое достаточно большое нечётное целое число может быть записано как сумма трёх простых чисел, что показывает слабую гипотезу Гольдбаха для всех случаев, кроме конечного числа. В 2013 году Харальд Хелфготт доказал слабую гипотезу Гольдбаха для всех случаев.

Доказательство теоремы следует методу круга Харди-Литтлвуда. Определите экспоненциальную сумму

${\displaystyle S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)}$.

Тогда у нас есть

${\displaystyle S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2})\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n)e(\alpha n)}$,

где ${\displaystyle {\tilde {r}}}$ обозначает количество представлений, ограниченных простыми степенями ${\displaystyle \leq N}$. Следовательно

${\displaystyle r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha }$.

Если ${\displaystyle \alpha }$ это рациональное число ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$, то ${\displaystyle S(\alpha )}$ оно может быть задано распределением простых чисел в классах вычетов по модулю ${\displaystyle q}$. Следовательно, используя теорему Сигеля-Вальфиса, мы можем вычислить вклад вышеупомянутого интеграла в малых окрестностях рациональных точек с малым знаменателем. Множество действительных чисел, близких к таким рациональным точкам, обычно называют главными дугами, дополнение образует второстепенные дуги. Оказывается, что эти интервалы доминируют над интегралом, поэтому для доказательства теоремы необходимо дать верхнюю оценку для ${\displaystyle S(\alpha )}$ для ${\displaystyle \alpha }$, содержащихся в малых дугах. Эта оценка является самой сложной частью доказательства.

Если мы примем обобщённую гипотезу Римана, аргумент, используемый для главных дуг, может быть распространен на второстепенные дуги. Это было сделано Харди и Литтлвудом в 1923 году. В 1937 году Виноградов дал безусловную верхнюю границу для ${\displaystyle |S(\alpha )|}$. Его аргумент начался с простого определения сита, затем полученные термины были переставлены сложным образом, чтобы получить некоторую отмену. В 1977 году Р. К. Воэн нашёл гораздо более простой аргумент, основанный на том, что позже стало известно как личность Воана (англ. Vaughan’s identity). Он доказал, что если ${\displaystyle |\alpha -{\frac {a}{q}}|<{\frac {1}{q^{2}}}}$, то

${\displaystyle |S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N}$.

Используя теорему Сигеля-Вальфиса, мы можем иметь дело с ${\displaystyle q}$ произвольными степенями ${\displaystyle \log N}$, используя теорему об аппроксимации Дирихле, которую мы получаем ${\displaystyle |S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N}}}$ на малых дугах. Следовательно, интеграл по малым дугам может быть ограничен сверху

${\displaystyle {\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}}$,

что даёт термин ошибки в теореме.

• Vinogradov, Ivan Matveevich. The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. — London and New York : Interscience, 1954.
• Nathanson, Melvyn B. Additive number theory. The classical bases. — New York : Springer-Verlag, 1996. — Vol. 164. — ISBN 0-387-94656-X. — doi:10.1007/978-1-4757-3845-2. Chapter 8.