Функция Мангольдта

Функция Мангольдта — арифметическая функция $\Lambda (n)$ , равная $\ln p$ , если $n=p^{m}$ — степень простого числа, в противном случае $\Lambda (n)=0$ . Кратко:

\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p,{\text{ if }}n=p^{m}\\0,{\text{ if }}n\neq p^{m}\end{cases}}

Функция Мангольдта предложена X. Мангольдтом в 1894-м году. Используется для доказательства закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях.

Свойства

Из определения следует, что

\sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\ln n

С помощью формулы обращения Мёбиуса из предыдущей формулы получаем

\Lambda (n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d}}=-\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln d

Связь с распределением простых чисел

Связь с дзета-функцией Римана : $\ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1$
$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1$
Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле:

\ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1

-{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1

$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}\sim \ln x$
$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n}}=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x}}}),$ где $\gamma$ — постоянная Эйлера
Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта

\psi (x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\Lambda (n)

Формула Перрона, примененная к предыдущему соотношению, даёт

{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-s\int \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{1+s}}}dx,\ \operatorname {Re} s>1

Литература

Прахар. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.