Теорема Грина — Тао

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году[1], согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

Формулировка

Хотя теорема Грина — Тао известна только доказательством самого факта присутствия сколько угодно длинных прогрессий в множестве простых чисел, однако имеются[2] значительные усиления этого утверждения: во-первых, утверждение остаётся верным для произвольного множества простых чисел положительной плотности (относительно множества всех простых чисел); во-вторых, имеются отдельные верхние оценки того, насколько большими могут быть элементы минимальной прогрессии в рассматриваемом множестве.

Далее в формулировках ${\mathbb {P} }$ означает множество простых чисел. Запись ${\log _{[k]}}{x}$ означает $\log \log \dots \log x$ , где логарифм берётся $k$ раз.

Теорема Грина-Тао

Пусть $A$ — множество простых чисел, и его плотность относительно простых $\delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace |}{|{\mathbb {P} }\cap \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace |}}$ строго положительна. Тогда для любого $k\geq 2$ множество $A$ содержит арифметическую прогрессию длины $k$ .

В своей отдельной более ранней работе[3] Грин доказал результат, касающийся функции распределения множества $A$ , но только для частного случая трёхчленной прогрессии.

Существует константа $c$ такая, что если для множества простых чисел $A\subset \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace$ выполнено $|A|>c{\frac {N{\sqrt {{\log _{[5]}}{N}}}}{{\log {N}}{\sqrt {{\log _{[4]}}{N}}}}}$ , то оно содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

Поскольку требуемая функция асимптотически меньше количества простых чисел на отрезке $[1;n]$ , то теорема остаётся верна для бесконечных множеств положительной плотности, когда $|A\cap \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace |>\delta {\frac {N}{\log {N}}}$ , $\delta >0$ . Таким образом, можно переформулировать последнюю теорему для фиксированной плотности.

Существует константа $c$ такая, что для любого множества простых чисел $A\subset \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace$ и его плотности $\delta ={\frac {|A\cap \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace |}{|{\mathbb {P} }\cap \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace |}}$ будет выполнено следствие: если $N\geq e^{e^{e^{\left({{\left({\frac {c}{\delta ^{2}}}\right)}^{\left({\frac {c}{\delta ^{2}}}\right)}}\right)}}}$ , то $A$ содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

Примеры

18 января 2007 года Ярослав Вроблевский нашёл первый случай арифметической прогрессии из 24 простых чисел[4]:
468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 23.

Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, не больших 23 (см. примориал).

17 мая 2008 Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:
6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 24.

12 апреля 2010 Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел:
43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 25 (последовательность A204189 в OEIS).

Вариации и обобщения

В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий[5]. Более точно, для любых заданных полиномов с целыми коэффициентами P₁,…, P_k одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P₁(m), …, x + P_k(m) простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k').

См. также

Примечания

Green, Ben & Tao, Terence (2008), The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics Т. 167 (2): 481–547, DOI 10.4007/annals.2008.167.481.
И. Д. Шкредов, Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях, стр. 117
Green, Ben (2005), Roth's theorem in the primes, Annals of Mathematics Т. 161 (3): 1609—1636, DOI 10.4007/annals.2005.161.1609
Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records.
Tao, Terence & Ziegler, Tamar (2008), The primes contain arbitrarily long polynomial progressions, Acta Mathematica Т. 201: 213-305, DOI 10.1007/s11511-008-0032-5.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Green, Ben & Tao, Terence (2008), The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics Т. 167 (2): 481–547, DOI 10.4007/annals.2008.167.481.

[2] И. Д. Шкредов, Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях, стр. 117

[3] Green, Ben (2005), Roth's theorem in the primes, Annals of Mathematics Т. 161 (3): 1609—1636, DOI 10.4007/annals.2005.161.1609

[4] Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records.

[5] Tao, Terence & Ziegler, Tamar (2008), The primes contain arbitrarily long polynomial progressions, Acta Mathematica Т. 201: 213-305, DOI 10.1007/s11511-008-0032-5.