Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях

Гипотеза Эрдёша является обобщением теоремы Семереди (поскольку ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{kn}}={\frac {1}{k}}\left({\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}\right)}$ расходится как гармонический), а также теоремы Грина — Тао (поскольку сумма ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$, где суммирование ведётся по простым числам, также расходится[4]).

Ввиду эквивалентности расхождению ${\displaystyle \sum \limits _{t=1}^{\infty }{{a_{k}}(4^{t})}}$, гипотеза Эрдёша может быть доказана, если будет доказано, что ${\displaystyle \forall k\geq 3:\ \forall \varepsilon >0:\ a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {N})^{1+\varepsilon }}}\right)}$.

Однако на данный момент доказано только[5], что ${\displaystyle a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {\log {n}})^{c_{k}}}}\right)}$, где ${\displaystyle c_{k}=2^{-2^{k+9}}}$, а также, в частном случае ${\displaystyle k=3}$, что ${\displaystyle a_{3}(N)=O\left({\sqrt {\frac {\log {\log {N}}}{\log {N}}}}\right)}$.