Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательство теоремы элементарными методами[1]. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

При рассмотрении простых ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$ довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы, Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle \lim _{s\to 1+}{\frac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}={\frac {1}{\varphi (k)}},}$

где суммирование ведётся по всем простым числам ${\displaystyle p}$ с условием ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$, а ${\displaystyle \varphi }$ — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов ${\displaystyle \mod k}$, поскольку

${\displaystyle \lim _{s\to 1+}{\dfrac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}=1,}$

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимно простых чисел ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle k}$ ряд ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$, где суммирование ведётся по простым ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {k}}}$, расходится.

• Характеры — основной математический инструмент изучения простых чисел в арифметической прогрессии

Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел.. — М.: Наука, 1986.