Ряды Эйзенштейна

Ряд Эйзенштейна задаёт модулярную форму веса ${\displaystyle 2k}$: для любых целых ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ с ${\displaystyle ad-bc=1}$ имеем

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).}$

Это следует из того, что ряд Эйзенштейна можно представить как функцию от порождённой 1 и τ решётки ${\displaystyle \Gamma =\langle 1,\tau \rangle }$, продолжив его на всё пространство решёток:

${\displaystyle G_{2k}(\Gamma )=\sum _{z\in \Gamma \setminus \{0\}}z^{-2k}.}$

Тогда ${\displaystyle G_{2k}(\lambda \Gamma )=\lambda ^{-2k}G_{2k}(\Gamma ).}$ Соотношение модулярности тогда соответствует переходу от базиса ${\displaystyle \{\tau ,1\}}$ к базису ${\displaystyle \{a\tau +b,c\tau +d\}}$ той же решётки (что не изменяет значения ${\displaystyle G_{2k}(\Gamma )}$) и нормированию второго элемента нового базиса на 1.

Более того, как оказывается, любая модулярная форма (произвольного веса ${\displaystyle 2m}$) выражается как полином от ${\displaystyle G_{4}}$ и ${\displaystyle G_{6}}$:

${\displaystyle f=\sum _{4k+6l=2m}a_{k}G_{4}^{k}G_{6}^{l}.}$

${\displaystyle \wp }$-функция Вейерштрасса эллиптической кривой ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Gamma }$ раскладывается в ряд Лорана в нуле как

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}(\Gamma )z^{2k}.}$

В частности, модулярные инварианты кривой E равны

${\displaystyle g_{2}=60G_{4},\quad g_{3}=140G_{6}.}$