Группы Конвея

Томас Томпсон[3] рассказал, как Джон Лич примерно в 1964 году исследовал плотную упаковку сфер в евклидовых пространствах высоких размерностей. Одним из открытий Лича была решётчатая укладка в 24-мерном пространстве, основанная на том, что стало называться решёткой Лича ${\displaystyle \Lambda }$. Он решил узнать, содержит ли группа симметрии решётки интересные простые группы, но почувствовал, что ему нужна помощь кого-либо, более осведомлённого в теории групп. Он долго искал такого человека, но математики были заняты своими собственными проблемами. Джон Конвей согласился посмотреть на проблему. Джон Г. Томпсон заявил, что ему было бы интересно, если Конвей даст порядок группы. Конвей полагал, что потратит на проблему месяцы или годы, но получил результат за несколько дней.

Витт[4] утверждал, что он нашёл решётку Лича в 1940 году, и намекнул, что вычислил порядок её группы автоморфизмов Co₀.

Конвей начал свои исследования Co₀ с подгруппы, которую он назвал N. Это голоморф (расширенного) двоичного кода Голея, представленного как набор диагональных матриц c 1 или −1 на диагонали, то есть его расширение с помощью группы Матьё M₂₄ (элементы которой представлены как матрицы перестановки). N ≈ 2¹²:M₂₄.

Стандартное представление двоичного кода Голея, используемое в данной статье, упорядочивает 24 координаты так, что 6 последовательных блоков по 4 (тетрад) образуют секстет.

Матрицы группы Co₀ ортогональны. То есть, они оставляют скалярное произведение неизменным. Обратная матрица является её транспонированной. Co₀ не содержит матриц с определителем −1.

Решётку Лича можно определить как Z-модуль, порождённый множеством ${\displaystyle \Lambda _{2}}$ всех векторов типа 2, состоящих из

(4, 4, 0²²)

(2⁸, 0¹⁶)

(−3, 1²³)

и их образов под действием N. ${\displaystyle \Lambda _{2}}$ под действием N распадается на 3 орбиты размера 1104, 97152 и 98304. Тогда ${\displaystyle |\Lambda _{2}|=196560=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 13}$. Конвей сильно подозревал, что Co₀ транзитивна на ${\displaystyle \Lambda _{2}}$, и, более того, он обнаружил новую матрицу, не мономиальную и не целочисленную.

Пусть ${\displaystyle \eta }$ — матрица 4×4

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{pmatrix}}}$

Теперь пусть ${\displaystyle \zeta }$ — 6-блочная матрица с нечётным числом ${\displaystyle \eta }$ и ${\displaystyle -\eta }$[5][6]. ${\displaystyle \zeta }$ является симметричной и ортогональной матрицей, а значит, представляет собой инволюцию. Она переставляет вектора между различными орбитами группы N.

Чтобы вычислить ${\displaystyle |\mathrm {Co} _{0}|}$, лучше всего рассмотреть ${\displaystyle \Lambda _{4}}$, множество векторов типа 4. Любой вектор типа 4 является в точности одним из 48 векторов типа 4, сравнимых друг с другом по модулю ${\displaystyle 2\Lambda }$, которые распадаются на 24 ортогональные пары ${\displaystyle \{v,-v\}}$. Набор из 48 таких векторов называется каркасом (англ. frame). N имеет в качестве орбиты стандартный каркас из 48 векторов вида (±8, 0²³). Подгруппа, фиксирующая заданный каркас, сопряжена с N. Группа 2¹², изоморфная коду Голея, действует как изменение знака векторов каркаса, в то время как M₂₄ переставляет 24 пары каркаса. Co₀, как можно показать, транзитивна на ${\displaystyle \Lambda _{4}}$. Конвей перемножил порядок ${\displaystyle 2^{12}|\mathrm {M} _{24}|}$ группы N и число каркасов, последнее равно отношению ${\displaystyle |\Lambda _{4}|/48=8252375=3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13}$. Это произведение является порядком любой подгруппы группы Co₀, которая строго содержит N. Следовательно, N является максимальной подгруппой группы Co₀ и содержит силовские 2-подгруппы группы Co₀. N также является подгруппой Co₀ всех матриц с целыми элементами.

Поскольку ${\displaystyle \Lambda }$ включает вектора вида (±8, 0²³), Co₀ состоит из рациональных матриц, в которых все знаменатели делят 8.

Наименьшее нетривиальное представление группы Co₀ над любым полем является 24-мерным, возникающим из решётки Лича, и оно точно над полями с характеристикой, отличной от 2.

Любая инволюция в Co₀, как можно показать, сопряжена элементу в коде Голея. Co₀ имеет 4 класса сопряжённости инволюций.

Перестановочная матрица вида 2¹², как можно показать, сопряжена додекадам. Её централизатор[7] имеет вид 2¹²:M₁₂ и имеет сопряжения внутри мономиальной подгруппы. Любая матрица в этом сопряжённом классе имеет след 0.

Матрица перестановок вида 2⁸1⁸, как можно показать, сопряжена октаде. Она имеет след 8. Она и противоположная ей (след −8) имеют общий централизатор вида ${\displaystyle (2^{1+8}\times 2).\mathrm {O} _{8}^{+}(2)}$, максимальная подгруппа в Co₀.

Конвей и Томпсон обнаружили, что четыре недавно найденные спорадические простые группы, описанные в докладе на конференции[8], изоморфны подгруппам или факторгруппам подгрупп Co₀.

Конвей сам использовал нотацию для стабилизаторов точек и подпространств, ставя в начале префикс в виде точки. Исключениями были •0 и •1, известные ныне как Co₀ и Co₁. Для целого ${\displaystyle \mathbf {n} \geqslant 2}$ пусть ${\displaystyle {\boldsymbol {\cdot }}\mathbf {n} }$ означает стабилизатор точек типа n (см. выше) в решётке Лича.

Конвей затем ввёл названия для стабилизаторов плоскостей, определённых треугольниками, имеющими начало координат в качестве вершины. Пусть •hkl будет поточечным стабилизатором треугольника с рёбрами (разности вершин) типа h, k и l. В простейших случаях Co₀ транзитивна на точках или треугольниках и группы стабилизаторов определены с точностью до сопряжённости.

Конвей отождествил •322 с группой МакЛафлина McL (порядок 898,128,000), а •332 с группой Хигмана — Симса HS (порядок 44,352,000). Обе были недавно обнаружены.

Ниже таблица[9][10] некоторых групп подрешёток:

Две спорадические подгруппы можно определить как факторгруппы стабилизаторов структур на решётке Лича. Отождествление R²⁴ с C¹² и ${\displaystyle \Lambda }$ с

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},}$

результирующей группой автоморфизмов (то есть, группой автоморфизмов решётки Лича, сохраняющих комплексную структуру), когда делится на шестиэлементную группу комплексных скалярных матриц, даёт группу Судзуки Suz (порядка 448,345,497,600). Эту группу обнаружил в 1968 году Митио Сузуки.

Похожее построение даёт группу Янко J₂ (порядок 604,800) как факторгруппу кватернионных автоморфизмов ${\displaystyle \Lambda }$ по группе скаляров ±1.

Семь простых групп, описанных выше, включают то, что Роберт Грисс назвал вторым поколением счастливого семейства, которое состоит из 20 спорадических простых групп, найденных в монстре. Некоторые из семи групп содержат по меньшей мере некоторые из пяти групп Матьё, которые составляют первое поколение.

Co₀ имеет 4 класса смежности элементов порядка 3. В M₂₄ элемент вида 3⁸ образует группу, нормальную в копии S₃, которая коммутирует с простой подгруппой порядка 168. Прямое произведение ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3}}$ в M₂₄ переставляет октады трио и переставляет 14 додекадных диагональных матриц в мономиальной подгруппе. В Co₀ этот мономиальный нормализатор ${\displaystyle 2^{4}\colon \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3}}$ расширен до максимальной подгруппы вида ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3}}$, где 2.A₉ является двойным накрытием знакопеременной группы A₉[11].

Джон Томпсон указал на то, что было бы плодотворно изучение нормализаторов малых групп вида 2.A_n[12]. Некоторые максимальные подгруппы Co₀ найдены таким способом. Более того, две спорадические группы появляются в результирующей цепочке.

Существует подгруппа ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{4}}$, только одна из её цепочек не максимальна в Co₀. Далее, существует подгруппа ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {PSL} _{2}(7))\colon {2}}$. Следующей идёт ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {SU} _{3}(3)):2}$. Унитарной группой ${\displaystyle \mathrm {SU} _{3}(3)}$ (порядок 6048) связана с группой автоморфизмов графа с 36 вершинами, предвосхищая следующую подгруппу. Эта подгруппа — ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{5}\circ \mathrm {2.HJ} ):2}$, в которой появляется Группа Янко J2. Упомянутый граф расширяется до графа Холла — Янко со 100 вершинами. Следующей идёт ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{4}\circ 2.\mathrm {G} _{2}(4)):2}$, группа G₂(4), которая является исключительной группой лиева типа[13][16].

Цепочку завершает 6.Suz:2 (Suz=Спорадическая группа Судзуки), которая, как упомянуто выше, сохраняет комплексное представление решётки Лича.

Конвей и Нортон предположили в статье 1979 года, что возможен аналог чудовищного вздора и для других групп. Лариса Куин и другие последовательно нашли, что можно построить расширения многих главных модулей (в английской литературе используется заимствованный из немецкого языка термин Hauptmodul, буквально — главный модуль) из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея соответствующие ряды Маккея — Томпсона — это ${\displaystyle T_{2B}(\tau )}$={1, 0, 276, −2048, 11 202, −49 152, …} (A007246) и ${\displaystyle T_{4A}(\tau )}$={1, 0, 276, 2048, 11 202, 49 152, …} (A097340), где постоянный член a(0)=24,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}}$

и ${\displaystyle \eta (\tau )}$ является эта-функцией Дедекинда.

• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Издание второе. — Ижевск: МЦНМО, ВКМ НМУ, 1999. — ISBN 5-89806-028-4.
• John Horton Conway. A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1968. — Т. 61, вып. 2. — С. 398–400. — doi:10.1073/pnas.61.2.398.
• Theory of finite groups: A symposium / Brauer R., Chih-han Sah. — W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
• John Horton Conway. A group of order 8,315,553,613,086,720,000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1969. — Т. 1. — С. 79–88. — ISSN 0024-6093. — doi:10.1112/blms/1.1.79.
• John Horton Conway. Three lectures on exceptional groups // Finite simple groups / Powell M. B., Higman G.. — Boston, MA: Academic Press, 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.). — ISBN 978-0-12-563850-0. Перепечатано в Conway, Sloane (1999, 267–298)
• John Horton Conway, Neil Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-0-387-98585-5.
• Thomas M. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. — Mathematical Association of America, 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-88385-023-7.
• John Horton Conway, Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis R. T. , Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9.
• Robert L. Griess Jr. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-62778-4.
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ version 2
• Atlas of Finite Group Representations: Co₁ version 3
• Robert A. Wilson. The maximal subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1983. — Т. 85, вып. 1. — С. 144–165. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(83)90122-9.
• Robert A. Wilson. On the 3-local subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1988. — Т. 113, вып. 1. — С. 261–262. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(88)90192-5.
• Robert A. Wilson. The finite simple groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2009. — (Graduate Texts in Mathematics 251). — ISBN 978-1-84800-987-5. — doi:10.1007/978-1-84800-988-2.
• Ernst Witt. Collected papers. Gesammelte Abhandlungen. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998. — ISBN 978-3-540-57061-5.
• R. T. Curtis, B. T. Fairburn. Symmetric Representation of the elements of the Conway Group •0 // Journal of Symbolic Computation. — 2009. — Вып. 44. — С. 1044—1067.