Теорема Сильвестра

Пусть одна из данных прямых ${\displaystyle \ell }$ не проходит через одну из точек пересечения ${\displaystyle P}$. Найдём точку пересечения и прямую, для которых расстояние меньше, чем от ${\displaystyle P}$ до ${\displaystyle \ell }$. Поскольку число пересечений конечно, это даст противоречие. Случай, когда через ${\displaystyle P}$ проходит прямая, не параллельная ${\displaystyle \ell }$, изображён на рисунке. Если же проходящая через ${\displaystyle P}$ третья прямая параллельна прямой ${\displaystyle \ell }$, то рассмотрим треугольник ${\displaystyle A'B'P'}$, средние линии которого образуют треугольник ${\displaystyle ABP}$, где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — точки пересечения двух проходящих через ${\displaystyle P}$ прямых с прямой ${\displaystyle \ell }$. Если третья проходящая через ${\displaystyle A}$ прямая не пересекает отрезок ${\displaystyle BP'}$, то расстояние от точки ${\displaystyle P}$ до неё меньше, чем до ${\displaystyle \ell }$. Аналогично, если третья проходящая через ${\displaystyle B}$ прямая не пересекает отрезок ${\displaystyle AP'}$, то расстояние от точки ${\displaystyle P}$ до неё меньше, чем до ${\displaystyle \ell }$. Если же третья проходящая через ${\displaystyle A}$ прямая пересекает отрезок ${\displaystyle BP'}$ и третья проходящая через ${\displaystyle B}$ прямая пересекает отрезок ${\displaystyle AP'}$, то возникает точка пересечения этих прямых. Если она не совпадает с ${\displaystyle P'}$, то она ближе к прямой ${\displaystyle \ell }$, чем ${\displaystyle P}$. Если же она совпадает с ${\displaystyle P'}$, то применим вышеприведённое рассуждение к ней и прямой ${\displaystyle \ell }$. Возникнет треугольник ${\displaystyle PP''P'''}$, средние линии которого образуют треугольник ${\displaystyle ABP'}$. Заменяя теперь в наших рассуждениях треугольник ${\displaystyle ABP}$ на треугольник ${\displaystyle P''P'A}$ и действуя далее аналогично, получаем противоречие с конечностью множества. ■

Прямое доказательство было найдено с полувековым запозданием Келли.

Допустим неколлинеарность точек данного множества. Выбираем пару: его точка ${\displaystyle A}$ и прямая ${\displaystyle d}$, для которой расстояние от ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle d}$ минимальное положительное; такая пара существует ввиду конечности множеств точек и соединительных прямых. Отмечаем на ${\displaystyle d}$ три точки: ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ из данного множества. Пусть точка ${\displaystyle P}$ есть основание перпендикуляра, опущенного из ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle d}$. Не умаляя общности, можно считать, что точки ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ следуют на ${\displaystyle d}$ в указанном порядке; при этом точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle B}$ могут совпадать. Тогда расстояние от точки ${\displaystyle B}$ до прямой ${\displaystyle AC}$ положительно и меньше, чем от ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle d}$. Противоречие. ■

Поскольку в доказательстве никак не используется условие, что все точки лежат в плоскости, теорема Сильвестра распространяется на множества в евклидовом пространстве произвольной размерности.